wjmm: Otóż w ramach powtórki przed maturą trafiłem na takie równanie: cos⁴x- sin⁴x= sin4x no więc rozwiązuję korzystają ze wzorów skróconego i wzoru sin2α= 2sinαcosα (cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)=2*sin2x*cos2x cos2x=2*sin2x*cos2x ponieważ: cos2x=cos²x-sin²x, a drugi nawias to jedynka tryg. dzielę obie strony przez cos2x sin2x=1/2 i z tablic wyczytuję, że: x=π/12+ kπ v x=5π/12+kπ k - liczba całkowita Tak więc równanie rozwiązane, problem leży w tym, że jeśli za x podstawię π/4 (czy tam każdy kolejny okres) to równanie jest tożsamościowe (cos⁴π/4- sin⁴π/4=0, sin(4*π/4)- sinπ=0). Tak więc rozwiązanie równania powinno być też π/4+kπ/2. Oczywiście problem leży w tym miejscu: cos2x=2*sin2x*cos2x- przy dzieleniu nie uwzględniłem, że cos2x może być równe 0 i się go pozbyłem. Z drugiej strony przy dzieleniu obu stron przez cosx nie ma przecież niż sprzecznego. Czy w takim razie mój sposób rozwiązania jest zły, czy też po prostu wystarczy dodać obok adnotację, że "dla cos2x=0 zachodzi to i to" Szczerze mówiąc nigdy przy żadnym skracaniu nie zastanawiałem się, że może akurat "pomijam rozwiązanie". Jak to racjonalnie wytłumaczyć i czy są jakieś inne sposoby rozwiązania tego równania

Gwiazdka: Witam! A więc ! ... rozumowanie poprawne! ... do momentu tego dzielenia Otóż, by uniknąć pominięcia rozwiązania należy: wyłączyć przed nawias cos2x zatem cos2x( 1 - 2sin2x)=0 <=> cos2x=0 lub sin2x= 1/2 dalej już wiesz!( nie zgubisz w ten sposób tego rozwiazania gdzie cos2x =0 OK?

wjmm: Ano, racja, jakoś nie przyszło mi to do głowy Dzięki, już rozumiem

Eaniel: Można też zamiast wyłączać przed nawias przeprowadzić takie rozumowanie: rozważasz pierwszy przypadek, w którym ZAKŁADASZ, że cos2x≠0 i sobie dzielisz. Wychodzi Ci jakieś rozwiązanie, sprawdzasz czy spełnia założenia. Ostatecznie z tego przypadku rozwiązanie musi być iloczynem tego co Ci wyszło z równania i Twojego założenia. rozważasz drugi przypadek, w którym zakładasz pozostałą sytuację, czyli że właśnie cos2x=0. Wtedy nie wolno Ci podzielić, ale to założenie powoduje, że równanie robi się trywialne i łatwo go rozwiązać. Oczywiście tak samo rozwiązanie musisz sprawdzić, czy pasuje do założenia. Ostatecznie rozwiązanie zadania to suma rozwiązań z przypadku 1 i 2. Jest to tak samo jak sposób gwiazdki, tylko inaczej napisane; a na sposób Gwiazdki dobrze wykuć w sumie prostą regułkę: "iloczyn jest równy 0, gdy (przynajmniej) jeden z czynników jest równy 0" (znaczy jeden, lub drugi).

Gwiazdka: No i o to chodzi!