jak obliczyc całkę amigo: ∫ x cosx dx

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/strona/2283.html

think: amigo przez części v = x u' = cosx

amigo: ale zróbcie mi to tak jak ma być to wtedy połapię o co chodzi

alka: ∫x cosxdx=... u=x v'=cosx u'=1 v=sinx ...= x sinx−∫sinx dx=x sin+cosx + c, gdzie c=const

think: całkowanie przez części: ∫ v(x)u'(x)dx = u(x)v(x) − ∫v'(x)u(x)dx v(x) = x tutaj masz policzyć pochodną v'(x) = ... u'(x) = cosx tutaj liczysz funkcję pierwotną u(x) = .... podstawiasz do wzoru i już. Nie ma co rozumieć tylko trzeba się wzoru nauczyć.

amigo: aha już kumam dzięki

amigo: a taka całka ∫ x sin3x dx robię ale w odpowiedziach jest zupełnie inaczej

amigo: u = x f' = 1 g' = sin 3x g= − cos3x

amigo: sory f = x

amigo: = −xcos3x − ∫ − cos3x = −x cos3x + sin3X chyba coś nie tak

Amaz: może zanim bedziesz całkować przez części, wykonaj podstawienie: t=3x, będzie troszkę łatwiej

Amaz: bo pochodna sin3x to 3cos3x, Dlatego lepiej wykonać podstawienie i mieć pewność, że się niczego nie zgubi, chociaż jak kto woli, można bez podstawienia to zrobić

amigo: czyli t = 3x to dt = 3?

Amaz:

	1
no i wtedy dt=3dx czyli dx=dt3, wtedy wyciągniesz sobie		przed całkę i już masz
	3

dużo łatwiej

amigo: ale g to ma byc pochodna, czy funkcja pierwotna?

Amaz: aha jeszcze musisz pamiętać, że x=^t₃, to też należy wstawić, za tego "x"

amigo: Boże ale to wszystko skomplikowane

Amaz: to ja zapiszę jak to ma wyglądać, już po tym podstawieniu

amigo: czyli jaki będzie wynik tej całki bo juz sie pogubiłem

Amaz: mamy całkę: ∫xcos3xdx Robimy podstawienie

	t
t=3x ⇒ x=
	3

	dt
dt=3dx ⇒ dx=		, no to teraz ta całka powinna wyglądać w ten sposób:
	3

	t		dt		1
∫		cost		=		∫ tcostdt, jest dużo łatwiej wg mnie i teraz przez części
	3		3		9

robimy

Amaz: aaa tam jest sinus a nie cosinus, sorry, popraw sobie

Amaz: Czyli mamy coś takiego: U{1]{9} ∫ t sint dt, teraz jedziesz sam, przez części, dawaj

amigo: kurcze nie wiem

amigo: a czemu sin ma byc a nie cos?

Amaz: Czyli po tych podstawieniach doszliśmy do takiej całki:

1
	∫ tsintdt
9

t będziemy różniczkować (pochodna t, to 1) sint będziemy całkować, prawda? (funkcja pierwotna sint, to −cost)

1		1
	∫ tsintdt =		(−tcost + ∫costdt)= i co dalej?
9		9

Amaz: tam ma być sinus a nie cosinus, bo taki dałeś przykład, ja wtedy po prostu źle przepisałem

amigo: = ¹₉(−3xcos3x + ∫ 3cos 3x)

amigo: a ile jest ∫ 3cos 3x ?

Amaz: Okey, ja może niepotrzebnie namieszałem z tym podstawianiem, spróbujmy bez ∫ xsin3xdx x różniczkujemy (pochodna x, to 1)

	−cos3x
sin3x całkujemy ( funkcja pierwotna to		)
	3

	−xcos3x		−1cos3xdx		−xcos3x		1
∫ xsin3xdx =		− ∫		=		+		∫ cos3xdx =
	3		3		3		3

	−xcos3x		1
=		+		sin3x + C
	3		9

Mam nadzieję, że się nigdzie nie kopnąłem, bo jakiś rozkojarzony jestem.

think: jedno z dwóch albo sin3x albo −sin3x zawsze mi się znaki merdają

amigo: no tak jest w odpowiedziach czyli dobrze zrobiłeś, wielkie dzięki teraz spróbuje to jakoś pojąć

amigo: nie poszedł by ktoś za mnie na egzamin z matmy Dobrze zapłacę