WYZWANIE DLA MATEMATYKÓW- DOWODZENIE: 2.16 wykaż że: b)suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2 c) jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to a/b + b/a ≥ 2

Basia: b) a>0 przypuśćmy, że a+1/a<2 /*a (bez zmainy kierunku nierówności bo a>0) a²+1<2a a²-2a+1<0 (a-1)²<0 a to jest niemożliwe czyli przypuszczenie było fałszywe czyli a+1/a≥0 c) a*b>0 przypuśćmy, że a/b+b/a<2 /*ab (bez zmainy kierunku nierówności bo ab>0) a²+ b²<2ab a²-2ab+b²<0 (a-b)²<0 a to jest niemożliwe czyli przypuszczenie było fałszywe czyli a/b+b/a≥2 są to klasyczne dowody "nie wprost" wykorzystującę tożsamość logiczną (tautologię) (p⇒q) ⇔ (~q⇒~p) jeżeli udowodnimy twierdzenie ~q⇒~p udowodniliśmy również twierdzenie p⇒q prawdziwość tej tatologii bardzo łatwo wykazać metodą 0-1 (zero jedynkową) Pozdrawiam i życzę sukcesów w zgłębianiu matematyki. Nie wiem na jakim jesteś poziomie, ale radziłabym postarać się o stare podręczniki do L.O (te sprzed reformy i wprowadzeniu gimnazjum), szczególnie te do planimetrii autorstwa pani profesor Zofii Krygowskiej i spróbować prześledzić jej wykład geometrii płaszczyzny oparty na grupie aksjomatów (czyli takich "oczywistych oczywistości" jak to, że przez każde dwa różne punkty płaszczyzny można przeprowadzić jedną i tylko jedną prostą), z których w sposób absolutnie logiczny (i w pełni udowodniony) wynikają pozostałe prawa i twierdzenia geometrii euklidesowej. To nie za bardzo pomoże w rozwiązywaniu zadań typu "oblicz promień okręgu wpisanego w.....", ale powinno Ci dać przedsmak tego czym tak na prawdę jest matematyka. Podręczniki do algebry z tamtego okresu też są bardzo dobre. Niestety autorów już nie pamiętam, ale Teta ma te podręczniki, może więc podpowie. Poza tym polecałabym zapozanie się za jakiś czas z książką "Wstęp do matematyki" Heleny Rasiowej, to taka trochę uproszczona teoria mnogości, ale też daje pojęcie o tym czym jest matematyka, dokładniej czym są jej podstawy. Życzę pogodnych i radosnych Świąt Bożego Narodzenia. (ale czasem zajrzę na forum)

Eta: Hej! Przyłączam się do życzeń Basi! Cieszy mnie Twoje zainteresowanie matematyką i wierzę ,że polubisz ten przedmiot i z pewnością zgłębisz tajniki "królowej nauk" , bo w Twoim podejściu już widać, że "rodzi " się pasja! ... a to już wielki krok do sukcesu!(czego Ci życzę!) Podręczniki o których wspomniała Basia są autortswa ; Geometria I i II kl. LO -- prof. Zofia Krygowska Zb. zadań z geometrii I i II kl. LO ---B. Kusińska, L. Skonieczna Algebra I i II i III lk. LO -- A. Ehrenfeucht, Olga Stande Zbiór zadań z mat. elementarnej --- tych samych autorek( z 1981 r.) Zadania z olimpiad matematycznych z rozwiązaniami -- Jerzy Browkin(1980r. ( bardzo polecam --- znajdziesz tam zadania tego typu o których piszesz i wiele innych) Zbiory zad. z algebry --- N. Dróbka , K. Szymański Matematyka , zb. zad. do LO -- T. Korczyc, J. Nowakowski Z życzeniami radosnych i "białych" Świąt Bożego Narodzenia i wiele zapału na "polu" matematycznym! P o z d r a w i a m ! Eta

wyzwanie: co do mojego poziomu to jestem w II LO w profilu mat-inf a studia jakie chciałabym podjąć to albo matematyczne albo grafik komputerowy, bo to moja druga pasja. swoja drogą czy jest tu ktoś, kto mógłby mi podpowiedzieć jaki wydział informatyki musiałabym wybrać i na jakiej krakowskiej uczelni

Dj Kichawa : Jak informatyka to tylko AGH Kraków najlepiej Programowanie lub ewentualnie Grafika

wyzwanie: a co sądzisz o UJ?

wyzwanie: no i drugie pytanie dlaczego napisałeś "ewentualnie" grafika? zbyt mocno ograniczyłabym sobie pole do popisu po studiach i ukończeniu (biorąc oczywiście optymistyczną wersję ) grafiki czy chodzi tu o coś innego jeszcze?

wyzwanie: cześć! Witam po świętach i na nowo podejmuję temat dotyczący mojego zadania 2.16. Basia udowodniła przez wykazanie niemożliwości istnienia sytuacji odwrotnych, a czy umiałby ktoś przeprowadzić dowód wprost?

Basia: o ile pamiętam Eta przeprowadziła dowód wprost tylko czyba w drugim poście

wyzwanie: ja próbowałam na początku zrobic cos takiego: a²+1 -------- ≥ 2 a i rozważam przypadki: I. a≥0 v II. a<0 - sprzeczne z zał a²+1≥2 a²≥1 a≥1va≤-1 a∈<1,∞) wzięłam najmniejszą liczbę z tego przedziału, czyli 1 i podstawiłam do równania: (1²+1)/2=2 c.n.d czy taki dowód byłby poprawany?

wyzwanie: tak Basiu, znalazłam, przepraszam, a powiedz mi czy to co napisałam byłoby dobrze, czy tak się nie udowadnia?

Eta: Tak ! masz ten dowód w drugim Twoim poście!

Basia: a mnie coś tu się nie zgadza o ile pamiętam w założeniu było tylko, że a≥0 w takim razie dlaczego a²+1 miałoby być ≥2 ? jest tylko i tylko ≥ 1 np. a=1/2 a²+1=1+1/4<2

Basia: a to, że a²+1≥1 nic nie daje a teraz znikam na jakiąś godzinkę czas pomyśleć o kolacji

wyzwanie: hmm czyżby się okazało, że nie potrafię rozwiązać nierówności? pewnie tak no więc spróbuje jeszcze raz: a²+1 -------- ≥ 2 a a²+1 -------- - 2 ≥0 a a2+1 2a -------- - --- ≥0 a a a²-2a+1 ------------ ≥ 0 a teraz rozważam przypadki: a≥0 v a<0 -sprzeczne z zał a²-2a+1≥0 (a-1)²≥0 a∈R c.n.d. teraz mi pasuje a Tobie?

wyzwanie: smacznego

Basia: oczywiście pasuje gdybyś chciał mieć ten dowód wprost zapisany zgodnie z wszystkimi zasadmi już nie tylko sztuki, ale i elegancji matematycznej powinieneś go zapisać "od tyłu" z wyjasnieniem "dzielimy przez a, co nie powoduje zmiany kierunku nierówności bo z założenia a>0" ale to nie jest konieczne; tak jak napisałam to taka matematyczna elegancja

Bartek: To znowu ja −−upierdliwy Bartek Ja mam dość logiczny umysł i zasadniczo rozumiem o co chodzi w dowodzie "nie wprost", ale jak patrzę sobie na to: (p⇒q) ⇔ (~q⇒~p) to jakoś tak...mam problem z przełożeniem tego na praktyczne obliczenia np.: a>0 przypuśćmy, że a+1/a<2 /*a (bez zmainy kierunku nierówności bo a>0) a2+1<2a a2−2a+1<0 (a−1)2<0 a to jest niemożliwe czyli przypuszczenie było fałszywe czyli a+1/a≥0 Czy może mi ktos przekazać jak się mają te obliczenia (zrozumiałe z resztą...) do zapisu: (p⇒q) ⇔ (~q⇒~p). Która część obliczeń oznacza p? Która oznacza q? Bo generalnie nie mam kłopotu z obliczeniami. Kłopot mam raczej z ich ujęciem teoretycznym, czyli właśnie z ujęciem (p⇒q) ⇔ (~q⇒~p). Dzięki