Efka: jaka jest granica ciągu a_n=n/n+2 nigdy nie miałam czegoś takiego, jak granica ciągu... może ktoś to wytłumaczyć?

studencik85: lim n/n+2 należy wyciągnąć największa potęgę przy n z mianownika czyli w naszym przypadku to n i mamy lim n/(n(1+2/n)) jeśli granica przy lim dąży do ∞ to 2/n dąży do zera i mamy ze: lim n/(n(1+2/n)) =1 granica dąży do jednego

Sialula: jaka jest granica ciągu a_n= ((3n−1)/(3_n+2))ⁿ⁺¹ prosze o pomoc

AS: Odnośnie zadania Efki W tym zapisie zadania granicą jest 3 , gdyż n/n = 1 i an = 1 + 2 = 3 dla każdego n. Na przyszłość proszę starannie podawać temat lim n/n + 2 a lim n/(n + 2) to są dwie różne sprawy.

AS: Zadanie Siasiuli (3*n − 1)ⁿ⁺¹ (3 − 1/n)ⁿ⁺¹ an = ( −−−−−) = (−−−−−) (3*n + 2) (3 + 2/n) Gdy n →∞ 1/n → 0 i 2/n → 0 lim an = (3/3)ⁿ⁺¹ = 1ⁿ⁺¹ = 1 n→∞

AS: Anuluję poprzednie rozwiązanie.Jest błędne

Sialula: Do AS. Dziekuje

tim : I zostałem sam

tim : W ciągu ostatnich 45 minut na forum pojawili się: tim oraz 1 gość Niech, ktoś przyjdzie

Kuba: a ja jestem

tim : Kuba Ktoś jest

matura210: dużo jest przeciecz

Kuba: przeciecz?;>

matura210: xD ojej widzę ze niektórzy się nie domyślają

AS: Tim! Co cyganisz. Chyba że mnie nie dostrzegasz!

sylwia gdańsk: Witam

AS: Zadanie Siasiuli (3*n − 1)ⁿ⁺¹ (3 − 1/n)ⁿ⁺¹ A an = ( −−−−−) = (−−−−−) = − (3*n + 2) (3 + 2/n) B Dla uproszczenia obliczeń pod każdym lim należy dopisać n→∞ 1 A = lim(3 − 1/n)ⁿ⁺¹ = 3*lim(1 − −−)ⁿ⁺¹ 3*n Przyjmuję −3*n = t ⇒ n = −t/3 A = 3*lim(1 + 1/t)^−t/3+1 = 3*lim[(1 + 1/t)^t]^−1/3*(1 + 1/t) Ponieważ lim(1 + 1/n)ⁿ = e lim(1 + 1/t) = 1 n→∞ t→∞ A = 3*e^−1/3*1 = 3*e^−1/3 2 1 B = lim(3 + 2/n)ⁿ⁺¹ = 3*lim(1 + −−)ⁿ⁺¹ = 3*lim(1 + −−−−)ⁿ⁺¹ 3*n 3*n/2 Podstawiam 3*n/2 = t ⇒ n = 2*t/3 B = 3*lim(1 + 1/t)^2*t/3+1 = 3*lim[(1 + 1/t)^t]^2/3*(1 + 1/t) Podobnie jak w A B = 3*e^2/3*1 = 3*e^2/3 Szukana granica: A 3*e^−1/3 − = −−−−−−−− = e^{−1/3 − 2/3} = e⁻¹ = 1/e B 3*e^2/3

AS: Do Tima Skoro przyznajesz się do sieroctwa to zerknij na moje obliczenie granicy, czy jest poprawne. Te rzeczy robiłem bardzo dawno i chciałbym by ktoś autorytatywnie sprawdził. Z góry dziękuję

tim : Drogi ASie, cz ty myślisz, że ja to umiem? (Pamiętasz ile mam lat?)

sylwia gdańsk: dobrze

sylwia gdańsk: tim Ty moze chodzisz do gim3?

AS: Dziękuję Sylwio. Teraz mogę spokojnie żyć.

tim : Obecnie mam wakacje Sylwio , teraz idę do 3 gimnazjum..

sylwia gdańsk: jakaś dygresja As? Ale chodziło mi o numer ogólnie szkoły ale dobra

Max: Witam AS Policzona granica jest OK Można było policzyć bez podstawiania "t"

	−13
A= lim( 3− 1n)n * ( 3 − 1n) = 3 *lim( 1 +		})n = 3*e−13
	n

	23
B= lim ( 3 +2n)n*( 3 +2n) = 3*lim( 1 +		)n= 3*e23
	n

	A		1
liman=lim		= e−13* e−23= e−1 =
	B		e

zatem ok

AS: Dziękuję Max.za potwierdzenie. Szukałem twierdzeń na ten temat i nie znalazłem. Sprowadzałem wszystko do definicji liczby e, bo nie byłem pewien czy lim(1 + a/n)ⁿ = e^a

Max: Właśnie tak: lim( 1+^a_n)ⁿ= e^a PS: Lata temu to było ...... pamięć jest ulotna , ale zawsze odświeżalna. Pozdrawiam

AS: Przecież to proste! lim(1 + a/n)ⁿ = lim(1 +1/(n/a))ⁿ Podstawiając n/a = t ⇒ n = a*t Wtedy lim(1 + 1/t)^a*t = lim[(1 + 1/t)^t]^a =e^a Jeszcze z moją łepetyną nie tak źle!

Max: