Pytanie Godzio: dlaczego:

	1
∫e2xdx =		e2x ? −− to jest z jakiegoś wzoru czy coś ?
	2

Gustlik: Zrób sobie podstawienie − tzw. metoda całkowania przez podstawienie: t=2x dt=2dx /:2

	1
dx=		dt
	2

Otrzymasz

	1		1		1		1
∫e2xdx=∫et*		dt=		∫etdt=		et=		e2x+C
	2		2		2		2

II sposób: (e^2x)'=2e^2x /:2

1
	(e2x)'=e2x /∫dx
2

1
	e2x+C=∫e2xdx
2

Pamiętaj o stałej całkowania C, którą należy dodać do wyniku !

Godzio: ok dzięki

think: Godzio Ty jeszcze nie śpisz? A nie idziesz przypadkiem jutro do szkoły ? No ja przypadkiem idę do pracy także spadam spać

Godzio: Do sprawdzenia czy dobrze : ∫xe^xdx e^x = t => x = In t dt = e^xdx ... = ∫In t dt = t * In t − t = e^x * x − e^x + C

Godzio: Mam na drugą lekcję i jakoś mi nie spieszno − 2 x polski z nowym rzeźniczym nauczycielem (13 września potop, 17 wrzesień Ludzie Bezdomni i zapowiedziane 5 sprawdzianów i matura ustna ) także nie ciekawie

think: cóż, ja lubię czytać, więc jak szukasz współczucia to nie u mnie

think: dobra bo jutro nie wstanę

Godzio: ja nienawidzę, najgorsza rzecz w szkole zwłaszcza przy lekturach tego typu

Godzio: Dobranoc

Godzio: i jeszcze jedno do sprawdzenie/podania prostszego sposobu

	2x + 1		2(x+1) − 1
∫		dx = ∫		dx =
	x2 + 2x + 2		(x + 1)2 + 1

	2(x+1)		1
= ∫		dx − ∫		dx = (*)
	(x + 1)2 + 1		(x + 1)2 + 1

x + 1 = t dx = dt

	2t		1
(*) = ∫		dt − ∫		dt = (**)
	t2 + 1		t2 + 1

| t² + 1 = u |

	2t		du
∫		dt = | 2tdt = du | = ∫		= In|u| + C = In|t2 + 1| + C = In|x2 + 2x +
	t2 + 1		u

2| + C

	1
∫		dt = arctgt + C= arctg(x + 1) + C
	t2 + 1

(**) = In|x² + 2x + 2| − arctg(x + 1) + C

TOmek : na moje oko dobrze ^^

Bogdan: W obu ostatnich całkach masz Godzio poprawne wyniki. Przedstawiam następujące rozwiązania tych całek: Całkę ∫ xe^x dx można rozwiązać metodą przez części: u = x v' = e^x u' = 1 v = e^x ∫ xe^x dx = xe^x − ∫ 1*e^x dx = xe^x − e^x + C.

	2x + 1
Całkę: ∫		dx zapisujemy w postaci sumy dwóch całek:
	x2 + 2x + 2

	2x + 1		2x + 2		1
∫		dx = ∫		dx − ∫		dx = A − B
	x2 + 2x + 2		x2 + 2x + 2		x2 + 2x + 2

	f'(x)
Całkę A rozwiążemy korzystając z przydatnej zależności: ∫		= ln|f(x)| + C
	f(x)

	2x + 2
A = ∫		dx = ln|x2 + 2x + 2| + CA
	x2 + 2x + 2

W całce B zastosujemy podstawienie: x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 = t² + 1 gdzie: x + 1 = t ⇒ dx = dt

	dx		dt
B = ∫		= ∫		= arc tgt + CB = arc tg(x + 1) + CB
	x2 + 2x + 2		t2 + 1

	2x + 1
Ostatecznie: ∫		dx = ln|x2 + 2x + 2| − arc tg(x + 1) + C
	x2 + 2x + 2

Godzio: Dzięki Bogdan Jeszcze mam jedno pytanie, znasz może jakiś link z tymi zależnościami i wzorami bardziej

	f'(x)
zaawansowanymi z całek ? np. ten: ∫		= In|f(x)| + C ?
	f(x)