Objętość Marek: Może mi ktoś sprawdzić takie zadanie? Obliczyć objętość ograniczoną powierzchniami z=x²+y²−2 z²=x²+y² z≤0 przechodzę na współrzędne biegunowe z=r²−2 z=r zapisuję teraz całkę potrójna o granicach od 0 do 2π po dβ od 0 do 2 po rdr oraz od r²−2 do r po dz i tutaj mam największy problem policzyłem sobie punkty przecięcia z równań z =r²−2 oraz z=r i wychodzi r=2 oraz r=−1 bo z założenia zadania z≤0 i nie wiem jak ustalić granice całkowania aby to było spelnione prosze o pomoc

Marek: Prosze o pomoc mam problem tylko z tymi granicami gdyby nie to żę z≤0 wiedział bym jak to zrobić ale przez to założenie nie wiem jak ustalić granice

Marek: Wiem że ktoś napewno to umie

Krzysiek: Wszystko już masz. Myślę tylko, że musisz sobie to wyobrazić. Pierwsza powierzchnia to paraboloida przesunięta o 2 w dół, a druga to stożek o wierzchołku w początku układu i lecący w dół bo z≤0. Samo równanie z=r mówi nam, że przecięciem tej powierzchni z płaszczyzną zawierającą oś z, jest prosta z=x, czyli ukośna taka no wiadomo jaka. Widzimy też, że powierzchnia ma symetrię osiową względem osi z, więc to samo mamy dla każdego kąta β. No to możemy sobie wyobrazić, że obracamy tą prostą wokół osi z i tworzymy taką powierzchnię. Co to będzie? Dwa stożki stykające się wierzchołkami − leżącymi w początku układu. Ale powiedzieli nam, że z≤0, więc skasowali ten górny i został tylko dolny stożek. Liczymy granice: dla β jest jasne, że od 0 do 2π dla z oczywiście lecimy od dołka w tej paraboli, do dachu, który tworzy ten stożek, czyli od r² − 2 do r a dla r lecimy od minimalnego r jakie mamy do maksymalnego. Jakie jest minimalne? zero! lecimy od samej osi z do zewnątrz. (pamiętaj, że r jest zawsze nieujemne! Jeśli chcesz się przedostać na drugą stronę osi z, obróć się o 180 stopni) Jakie jest maksymalne r? no takie, gdzie daszek się przecina z parabolą. Policzyłeś je: wyszło 2 albo −1. 2 jest dla górnego stożka, a −1 jest dla dolnego. Czyli nas interesuje to −1. Tak naprawdę r jest jeden. czyli r będzie od 0 do 1. Czemu ten minus? Wróćmy do tego przecięcia naszych powierzchni z płaszczyzną zawierającą oś z. Przecięciem z=r będzie prosta z=x, a tej drugiej − parabola z=x²−2. No i te dwie krzywe się przecinają w x=2 i w x=−1. Te różne znaki mówią nam, że to pierwsze przecięcie jest z jednej strony osi z, a drugie z drugiej. Ale kiedy wrócimy z powrotem do układu biegunowego, to przypominamy sobie, że r ≥0, nie? Nie może być coś takiego jak np dla β=0 , r=−1. Może być ewentualnie dla β=π , r=1. Więc jakby tym minusem zajęła się β, a r zajęło się samymi odległościami. To jest takie pobieżne wytłumaczenie tego minusa. Pytaj dalej, jak chcesz dokładniejsze, to ci powiem jak ja sobie to wyobrażam.