WYZWANIE DLA MATEMATYKÓW- DOWODZENIE: Zadania ułożone zgodnie ze stopniem trudności. Ambitnym proponuję więc zacząć od końca. Spróbuj rozwiązać każde z nich, ja próbowałam na swój sposób, ale chcę zobaczyć jak to na prawdę powinno wyglądać prośba, jeśli jesteś uczniem i nie jesteś pewny Twojego dowodu to napisz: "(nie pewne)" 2.12. Uzasadnij że suma dwóch liczb dwucyfrowych takich, że cyfra dziesiątek i cyfra jedności pierwszej z nich jest odpowiednio cyfrą jedności i cyfrą dziesiątek drugiej, jest podzielna przez jedenaście 2.14. Wykaż że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczba podzielną przez 8. 2.15 Wykaż, że kwadrat liczby naturalnej niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Basia: 2.12 x₁=10*n₁+n₂ x₂=10*n₂+n₁ x=x₁+x₂=11*n₁+11*n₂=11*(n₁+n₂) czyli w sposób oczywisty jest podzielna przez 11 2.14 (2n+1)²-(2n-1)²=2n²+4n+1-4n²+4n-1=8n czyli jest to oczywiście liczba podzielna przez 8 2.15 n=3k+1 lub n=3k+2 (innej możliwości dla naturalnych nie ma) 1. n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 czyli n²/3=3k²+2k reszta 1 2. n²=(3k+2)²=9k²+12k+4=9k²+12k+3+1=3(3k²+4k+1)+1 czyli n²/3=3k²+4k+1 reszta 1 c.b.d.o.

Basia: Jak na wyzwanie, to bardzo łatwe. Wesołych Świat Basia

wyzwanie: dzięki Basiu wzajemnie spróbowałabyś kolejnych? Tak jak napisałam, mam własne wizje, ale ponieważ moja pasja matematyczna stosunkowo niedawno się narodziła no i jestem w trakcie edukacji licealnej to nie mam pewności czy moje dowody są dobre, a korzystam z tego forum jako potwierdzenia lub obalenia moich "teorii" 2.16 wykaż że: b)suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2 c) jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to a/b + b/a ≥ 2

Teta: A teraz może ja ? 2.16. b) a +1/a ≥2 /*a bo a >0 a² +1 -2a ≥ 0 (a -1)² ≥ 0 zachodzi bo a >0 dla a = 1 mamy wartość zero dla wszystkich a>0 wart >0 c.b.d.o c) a/b +b/a ≥ 2 /*ab bez zmiany zwrotu nierówności ,bo ab >0 z założ. czyli a² +b ² - 2ab ≥ 0 podobnie (a - b)² ≥ 0 --- zawsze zachodzi! c.b.d.o