obliczyć ekstrema lokalne i D zdesperowane: obliczyć ekstrema lokalne wraz z dziedziną f(x)= lnx/x² oraz ln(x+1)/e ^x

Gustlik:

	lnx
f(x)=
	x2

D: x>0 (liczba logarytm.) i x²≠0 (mianownik) → D:x>0, D=R₊ Liczysz pochodną ze wzoru: Pochodna ilorazu:

	L		L'*M−M'*L
(		)'=
	M		M2

	1x*x2−2x*lnx
f'(x)=		=
	x4

	x−2x*lnx		1−2lnx
=		=
	x4		x3

1. Warunek konieczny istnienia ekstremum: f'(x)=0

1−2lnx
	=0
x3

1−2lnx=0 −2lnx=−1 /:(−2)

	1
lnx=
	2

x=e^1₂ → mamy punkt "podejrzany" o ekstremum 2. Warunek wystarczający istnienia ekstremum: badamy, czy pochodna w punkcie "podejrzanym" o ekstremum zmienia znak, a więc badamy monotoniczność funkcji: f'(x)>0

1−2lnx
	>0
x3

1−2lnx>0 (mozemy opuścić mianownik, bo z dziedziny wynika, że jest on dodatni) −2lnx>−1 /:(−2)

	1
lnx<
	2

x<e^1₂ → f. rosnąca dla x€(0, e^1₂> W ten sam sposób liczymy f'(x)<0 − zmieni się tylko znak nierówności. Otrzymamy x>e^1₂ → f. malejąca dla x€<e^1₂, +∞) Czyli funkcja najpierw rośnie, a potem maleje − mamy maximum.

	lne12
fmax(e12)=		=
	(e12)2

	12		1
=		=
	e		2e

Drugi przykład zrób podobnie.