Granice Marcin: Mam taki problem z taką granicą: lim (√n−n)=? n→∞ korzystam ze wzorów skróconego mnożenia i wychodzi mi cos takiego lim n−n² / (√n + n) n→∞ nie wiem jak to dalej zapisać Pomożecie

Krzysiek: Jestem fizykiem a nie matematykiem i boję się, że w moim rozwiązaniu jest za dużo intuicji a za mało formalizmu, ale czemu nie zrobić tak? : √n − n = (√n)(1−√n) przy n → ∞ pierwszy nawias dąży do ∞ , a drugi do minus ∞, więc po "pomnożeniu" wynik to minus ∞

anmario: Zgadza się Krzysiek, jeżeli zaś chodzi o podejście formalne to idzie to tak jak działał Marcin, a następnie:

n−n2		n−n2   n		1−n
	=		=
√n + n		√n + n   n		√n   +1 n

	1−n
=
	1   +1 √n

i teraz jasno widać, że przy n dążącym do nieskończoności całość zmierza do minus nieskończoności (no bo mianownik do jeden licznik do −∞)

b.: podejście Krzyśka jest prostsze i też formalnie poprawne

anmario: Pozwolę sobie nie zgodzić się z tą tezą, mam na myśli kwestię prostoty. Zaprezentowane przeze mnie rozwiązanie to pewien uniwersalny schemat. Dla przykładu, równanie kwadratowe ax²+bx+c przy zadanych a, b i c można poprawnie rozwiązać sprowadzając je za każdym razem do postaci kanonicznej, tylko po co skoro mamy wynikające z niej wzory na jego pierwiastki, hm?

b.: a moim zdaniem, jest dokładnie odwrotnie: rozwiązanie Krzyśka działa dla dowolnych kombinacji liniowych funkcji potęgowych, np. pozwala policzyć granice przy n→∞ z ciągów: √n − n⁷ n − n²⁰¹⁰ √n − n⁷ n + n²−n⁴ + n³²⁰√n itd. − po prostu wyłącza się wyraz z najwyższą potęgą przed nawias i już a ten uniwersalny schemat dla pierwszych dwóch ciągów powyżej jest ,,na około'' (to tak jakby jechać z Gdańska do Sopotu przez Paryż, że zacytuję naszego klasyka ), a dla kolejnych chyba już w ogóle nie zadziała P.S. Twój schemat rozwiązania jest pożyteczny, gdy odejmowane są dwa składniki tego samego rzędu, np. √n−√n+1.

b.: aha, chociaż masz rację, że Krzysiek nie wyciągnął największej potęgi −− choć dla 2 składników to i tak będzie bez różnicy...

Kamil: słuchacie muzyki?

Kamil: jakiej słuchacie?

Kamil: moge podać wam fajną piosenke, jezeli chcecie

Kamil: jest tam kto?

Kamil: prosze odpowiedzcie ja ide jeść

anmario: No w sumie masz rację b, że dla tych ciągów ten schemat jest naokoło, dla tego przedstawionego przez Marcina − z dokładnie tych samych powodów − również, śmiało można w każdym przypadku pisać −∞, ale niektórzy nauczyciele kiepsko znoszą taką błyskotliwość, nie sądzisz?