Sprawdzenie Klaudiusz: Proszę o sprawdzenie tego zadania .

	7n2−4n
Zbadać monotonność i ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym an=
	3n2−n

A)

	7(n+1)2−4(n+1)
an+1=		=
	3(n+1)2−(n+1)

	7n2+14n+7−(4n+4)
=		=
	3(n+1)2−(n+1)

	7n2+14n+7−4n−4
=		=
	3(n+1)2−(n+1)

	7n2=10n+3
=		=
	3(n+1)2−(n+1)

	7n2+10n+3
=
	3n2=6n=3−n−1

	7n2+10n+3
=
	3n2−5n+2

	7n2+10n+3		7n2−4n
an+1−an=		−
	3n2−5n+2		3n2−n

	[7n2+10n+3)(3n2−n)		(7n2−4n)(3n2−5n+2)
=		−
	(3n2−5n+2)(3n2−n)		(3n2−n)(3n2−5n+2)

	21n4−7n3+30n3−10n2+9n2−9n
=		−
	(3n2−5n+2)(3n2−n)

	21n4−35n3+14n2−12n3+20n2−8n
	(3n2−n)(3n2−5n+2)

	21n4+23n3−1n2−9n		21n4−47n3+34n2−8n
=		−
	(3n2−5n+2)(3n2−n)		(3n2−n)(3n2−5n+2)

	21n4+23n3−1n2−9n−21n4+47n3−34n2−8n
=
	(3n2−5n+2)(3n2−n)

	70n3−35n2−n
=
	(3n2−5n+2)(3n2−n)

	n(70n2−35n−1)
=
	(3n2−5n+2)(3n2−n)

do mianownia podstawiamy 1 3*1²−5*1+2=3−5+2 = 0 3*1²−5*2+2=12−10+2= 4 > 0 ciąg jest rosnący i ograniczony z dołu 3*1²−1=3−1=2 3*2²=12−2 =10

	7n2−4n
an=		za 'n'' podst. 1
	3n2−n

	7*12−4*1
a1=
	3*12−1

	7−4		3
a1=		=
	3−1		2

	3
ciąg jest rosnący , ograniczenie z dołu wynosi
	2

Anna: W 6 linii od początku powinno być:

	7n2 + 10n + 3
an+1 =
	3n2+5n + 2

Klaudiusz: ale chyba dużo to nie zmieni , tylko tam gdzie podstawiamy do mianownika 1 będą inne wynik ale ciąg i tak zostanie rosnący ograniczony z dołu

Cezar: Wystarczyło wyłączyć w liczniku i w mianowniku n przed nawias, obliczenia stałyby się prostsze.

	7n2 − 4n		n(7n − 4)		7n−4
an =		=		=		, n ∊ N+
	3n2 − n		n(3n − 1)		3n − 1

Cezar: a czy ten ciąg jest ograniczony z góry?

Klaudiusz: a czy te zadanie może być obliczone w ten sposób ?

	7n2−4n
an=
	3n2−n

	n(7n−4)		7n−4
an=		=
	n(3n−1)		3n−1

	7(n+1)−4		7n+7−4		7n+3
an+1 =		=		=
	3(n+1)−1		3n+3−1		3n−2

	7n+3		7n−4
an+1−an=		−		=
	3n−2		3n−1

	(7n−3)(3n−1)−(7n−4)(3n−2)
=
	3n−2−3n−1

	(21n2−7n+9n−3)−(21n2−14n+12n−8)
=
	3n−2−3n−1

	21n2−7n+9n−3−21n214n+12n+8
=
	3n−2−3n−1

	−3+8		5
=		=
	3n−2−3n−1		3n−2−3n−1

	7n−4		7*1−4		3
a1=		=		=U{7−4}[3−1} =
	3n−1		3*1−1		2

	7n−4
lim→∞=		=
	3n−1

	7nn4n		7−0		7		1
=		=		=		=2
	3nn−1n		3−0		3		3

	1
Ten ciąg jest rosnący dla każdego "x" należącego do "n" i jest ograniczony z dołu =1		i z
	2

	1
góry lim→∞=2
	3

Które jest poprawne ?

Klaudiusz: możecie sprawdzić czy dobrze ?