wykaż Eta: Ulubione dowody dla Godzia wykaż, że dla dodatnich a,b,c zachodzi nierówność

	a4+b4+c4
		≥ abc
	a+b+c

Godzio: Nie jestem pewien czy poprawnie ale się zobaczy

a4 + b4 + c4
	≥ abc3√abc
3

a + b + c
	≥ 3√abc : dzielę obie nierówności
3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a4 + b4 + c4
	≥ abc
a + b + c

b.: niepoprawnie, nierówności nie można dzielić stronami np. 2 > 1 3 > 1 ale

	2
		nie jest większe od 1
	3

Godzio: No tak Nie mogę coś znaleźć w miarę prostego sposobu na zrobienie tego

Eta: I tu Cię mam ............ myśl dalej Pozdrawiam

Eta:

Godzio: Spokojnie wciąż myślę

Eta: Ok ......do rana dużo czasu

think: Eta Ty go tak nie naciskaj, bo się zamknie w sobie

think: dobra zwijam manatki na dziś, bo jutro muszę wstać haniebnie wcześnie. dobrej nocy

Eta: K o l o r w y c h snów

Eta: o ...... zjadłam , sorry

Godzio: Eta poddaj się myślę nad tym już dobre kilka godzin, nie tylko dziś i nic próbowałem wszystko co znałem i nic

Eta: 1 / podpowiedź: wykorzystaj : x²+y²+z² ≥xy +xz + zy teraz myśl dalej

Vax: Moim zdaniem nie jest to takie trudne

a4+b4+c4
	≥ abc /*a+b+c>0
a+b+c

a⁴+b⁴+c⁴ ≥ a²bc + ab²c + abc² a⁴ − a²bc + b⁴ − ab²c + c⁴ − abc² ≥ 0 a²(a² − bc) + b²(b² − ac) + c²(c² − ab) ≥ 0 Wiemy, że a,b,c są dodatnie, więc aby wyrażenie było ≥ 0 wyrażenia w nawiasach muszę być ≥ 0

⎧	a2 − bc ≥ 0
⎨	b2 − ac ≥ 0
⎩	c2 − ab ≥ 0

⎧	a2 ≥ bc
⎨	b2 ≥ ac
⎩	c2 ≥ ab

po dodaniu stronami, otrzymujemy: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac Przekształcamy dalej: a² − ab + b² − bc + c² − ac ≥ 0 a(a−b) + b(b−c) + c(c−a) ≥ 0 Otrzymujemy kolejny układ równań:

⎧	a−b ≥ 0
⎨	b−c ≥ 0
⎩	c−a ≥ 0

⎧	a ≥ b
⎨	b ≥ c
⎩	c ≥ a

dodajemy stronami, i otrzymujemy: a+b+c ≥ a+b+c Co oczywiście jest prawdą CND. Pozdrawiam. −Vax

Godzio: W takim razie korzystając z: a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ a²b² + a²c² + b²c² oraz z :

a2 + b2 + c2		3
	≥
3		1   1   1   + + a2   b2   c2

	b2c2 + a2c2 + a2b2
(a2 + b2 + c2)(		) ≥ 9
	a2b2c2

	b2c2 + a2c2 + a2b2
(a4+b4+c4)*(a2 + b2 + c2)(		)≥ 9(a2b2 + a2c2 +
	a2b2c2

b²c²) (a⁴ + b⁴ + c⁴)(a² + b² + c²) ≥ 9 a²b²c² √a⁴ + b⁴ + c⁴ * √a² + b² + c² ≥ 3abc Teraz korzystam z:

	a4 + b4 + c4		a2 + b2 + c2
√		≥
	3		3

	a2 + b2 + c2		a + b + c
√		≥
	3		3

Ostatecznie:

a4 + b4 + c4		abc(a + b + c)
	≥
3		3

a4 + b4 + c4
	≥ abc
a + b + c

Jestem pewien że nie tak jak chciałaś ale jest

Vax: Eee tam, moim sposobem prościej Nie trzeba wykorzystywać nierówności między średnimi, tylko po prostu przekształca się kolejną linijkę z poprzedniej i idzie bez problemu w < 3 minuty Pozdrawiam.

Eta: a,b,c >0 jak już Ci wykazał Vax x²+y²+z² ≥xy+yz +xz x=a² y=b² z= c² a⁴+b⁴+c⁴ ≥a²b²+b²c² +a²c² x=ab , y= bc, z= ac a⁴+b⁴+c⁴≥x²+y²+z²≥xy+yz+xz a⁴+b⁴+c⁴ ≥ ab*bc+ bc*ac+ab*ac a⁴+b⁴+c⁴ ≥abc( a+b+c)

	a4+b4+c4
		≥abc
	a+b+c

c.n.u.

full wypas: co do rozwiązania Vax'a jest ono niestety niepoprawne. Kiedy dochodzisz do momentu a²(a² − bc) + b²(b² − ac) + c²(c² − ab) ≥ 0 musisz udowodnić, że zachodzą nierówności: a² − bc ≥ 0, b² − ac ≥ 0, c² − ab ≥ 0, a nie przyjmować że muszą one zachodzić bo inaczej nasza wyjściowa nierówność będzie nieprawdziwa. Co do dalszych kroków, jak np. a² − bc ≥ 0, b² − ac ≥ 0, c² − ab ≥ 0 chcesz udowodnić każdą z nich i sumujesz je stronami i wtedy wychodzi Ci oczywiście prawdziwa nierówność, ale nie jest to dowód poprawności 3 powyższych. Przedstawiam Ci podobne rozumowanie: 0>1 1>2 5>1 sumując te nierówności stronami otrzymamy 6>4 co jest oczywistą prawdą, ale nie dowodzi że te 3 nierówności są prawdziwe. Załączam również swoje rozwiązanie tej nierówności:

a4		a4		b4		c4		a4 a4 b4 c4
	+		+		+		≥ 4 4√		= a2 b c
4		4		4		4		44

a4		b4		b4		c4		a4 b4 b4 c4
	+		+		+		≥ 4 4√		= a b2 c
4		4		4		4		44

a4		b4		c4		c4		a4 b4 c4 c4
	+		+		+		≥ 4 4√		= a b c2
4		4		4		4		44

sumując stronami te 3 nierówności otrzymujemy tezę. PZDR

Vax: hm.. nie jestem pewien, co do Twojego argumentu, otóż ja zakładam, że dane nierówności zachodzą, więc dodaję je stronami i sprawdzam, czy otrzymam prawdziwą nierówność, jeżeli otrzymam ów nierówność, oznacza to będzie, że dane nierówności były poprawne, ale ok, zapytam się później korepetytora, żeby się upewnić Pozdrawiam.

full wypas: Rozumiem o co Ci chodzi ale spójrz na ten fragment, w którym podaję Tobie kontrprzykład: masz 3 nierówności w tym 2 nieprawdziwe, zakładasz, że wszystkie są prawdziwe, a poprzez zsumowanie dostajesz prawdziwą nierówność, co jednak nie dowodzi poprawności każdej z nich. Mam nadzieję, że Twój korepetytor rozwieje te wątpliwości

Eta: @Vax full wypas ma rację Pozdrawiam obydwu Panów..

Godzio: Eta uczy się nowych trendów @

Eta: @ Godzio A co?....trzeba równać do młodych

Godzio: Co prawda to prawda

Vax: hm.. może macie rację Zawsze mi się wydawało, że tak jest poprawnie, ale jeszcze to przeanalizuję Pozdrawiam.

Kamil: Godzio wejdz na mój post podałeś mi liczby podzilene przez 5 i 15,a chciałbym zrozumieć twoim sposobem czekam na ciebie i przepraszam za zamieszanie