Liczby pierwsze Keira: Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których p^p+1 + 2 jest liczbą pierwszą.

Keira: Proszę choć o podpowiedź, jak sprawdzić czy dana liczba jest pierwsza.

b.: ogólnie biorąc, ciężko to sprawdzić: trzeba wykazać, że liczba n nie ma innych dzielników naturalnych niż 1 i n łatwiej sprawdzić, że liczba n jest złożona: wystarczy wskazać jakiś dzielnik n (większy od 1 i mniejszy od n) wskazówka do tego zadania: uzasadnij, że liczba p^p+1+2 dla nieparzystych p jest podzielna przez 3

b.: pomyłka: dla p nieparzystych i niepodzielnych przez 3

b.: jeszcze taka ogólna wskazówka do takich zadań: wypisać początkowe wyrazy i zobaczyć, co się dzieje... (akurat w tym zadaniu to jest kłopotliwe, bo te liczby p^p+1+2 szybko robią się duże)

Keira: Dziękuję, ale dlaczego mam udowadniać "że liczba p^p+1+2 dla nieparzystych p jest podzielna przez 3" Bo nie wiem skąd to "wzięte".

think: Keira wypisz sobie kilka liczb pierwszych i podstaw do tego wzoru, będziesz musiała sprawdzić, czy otrzymana liczba jest pierwsza.

think: liczby pierwsze: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31...

Keira: No tak, tym sposobem zawsze można, ale zastanawiam się, czy nie ma jakiegoś "matematycznego" rozwiązania Ale dzięki

think: także widać od razu, że dla 2 nie będzie to liczba pierwsza 3⁴ + 2 = 81 + 2 = 83 ← liczba pierwsza 5⁶ + 2 = 15627 ← podzielna przez 3 7⁸ + 2 = 5764803 ← podzielna przez 3 czyli zgadza się z podpowiedzią b. No to robimy założenie, ponieważ liczby pierwsze za wyjątkiem 2 są liczbami nieparzystymi. Czyli są to liczby postaci dla p>3: 3k + 1, 3k + 2 (możliwe reszty z dzielenia przez 3)

	3k + 2 0		3k + 2 1
(3k + 1) 3k + 2 + 2 =		(3k)3k + 2*10 +		(3k)3k + 1*11 +N{3k +

	3k + 2 3k + 2		3k + 2 0
2}{2}(3k)3k*12 +....+		(3k)0*13k + 2 + 2 =		(3k)3k +

	3k + 2 1		3k + 2 2
2*10 +		(3k)3k + 1*11 +		(3k)3k*12 +....+ 3 a wszystkie te

składniki dzielą się przez 3 tak samo można zrobić dla 3k + 2

think: a to matematyczny sposób skoro prosisz ale właśnie w ten sposób się dochodzi do jakiś rozwiązań, w każdym razie ja tak mam najpierw badam zachowanie dla małych liczb i sprawdzam czy nie ma tam jakiejś prawidłowości później to udowadniam ogólnie.

Keira: aahaa no dobrze... widzę, ze wyższa matematyka wiesz, każdy sposób dobry o ile potrafisz później udowodnić ogólnie, bo ja bym tutaj nie umiała Dzięki

think: nie no, znasz chyba ten wzór:

	n 0		n 1		n n−1		n n
(a + b)n =		anb0 +		an−1b1 + .... +		a1bn−1 +		a0bn

think: proszę, tylko nie zapomnij, że zostawiłam Ci do udowodnienia drugą część, mianowicie (3k + 2)^{3k + 3} + 2

Keira: tak, tak, pamiętam

think: a jak to udowodnisz wyjdzie, że tylko dla p = 3 liczba tej postaci też jest pierwsza. Ładne zadanie, gdzie takie dają?

Keira: oj w szkole, w szkole właściwie nie wiem skąd wzięte. Nasza Pani grupuje co jej się spodoba i daje

think: liceum?

think: i dobrze robi, takie zadania dużo uczą i stanowią swoistą łamigłówkę zresztą nie dała by wam gdyby nie wierzyła, że jesteście w stanie tego zrobić.

Keira: No i tu Cię mogę zdziwić, bo gimnazjum Zastanawiam się, o który sposób chodziło We wrześniu się dowiem

think: no to ładnie jak na gimnazjum normalnie szacun

Keira: Szacun byłby jakbym zrobiła A tu niestety

Keira: A właściwie na jakim "poziomie" Ty jesteś?

think: ja, jak słusznie piszesz jestem dziołcha na poziomie a tak poważnie to ukończyłam LO profil mat−fiz, w co ciężko uwierzyć, gdy muszę rozwiązać zadanie fizyczne następnie UWr Licencjat na matematyce obecnie ciężko pracuję a tutaj 'rozrywkuję się' po pracy i oczywiście aby nie wyjść z wprawy

think: Keira jak udowodnisz tą drugą część, którą Ci zostawiłam to uwierz mi też będziesz zasługiwała na szacun, w końcu nie jest to identyczny dowód i trzeba się tam trochę pogłowić

think: dobra uciekam, do następnego

Keira: w takim razie jutro ze świeżym umysłem biorę się do roboty Zawód związany z matematyką? Dzisiaj kończę, na razie!

Eta: No to dodam Ci Keira takie zadanko: Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, takie; dla których liczba 2p+1 jest sześcianem liczby naturalnej. powodzenia

think: oportunistycznie mogłabym stwierdzić, że każdy zawód jest związany z matematyką, tylko nie każdy jest z nią stricte związany Nie pracuję w zawodzie ściśle powiązanym z kierunkiem studiów, chociaż mogłam. Wybrałam pracę w rodzinnej firmie, bo moje rodzeństwo nie wykazywało zainteresowania w tym kierunku a ja i tak od zawsze pomagałam rodzicom.

b.: skąd się wzięła podzielność przez 3 akurat? często w zadaniach tego typu trzeba pokazać, że wszystkie podane liczby oprócz kilku dzielą się np. przez 2, albo przez 3, 5, lub inną konkretną liczbę, zależnie od zadania; czasami podaną liczbę da się rozłożyć na iloczyn czynników... to zadanie było z gatunku trudniejszych, w których trzeba wpaść na jakiś pomysł (tutaj: popatrzyć na podzielność przez 3) −− i niestety trudno wyjaśnić, *jak* wpaść na pomysł −− nie przejmuj się, jeśli Ci się to nie uda, z czasem będzie się udawało coraz częściej zastanów się nad zadaniem Ety

full wypas: Co do zadanka Ety niech (*) 2p+1=k³, k∊ℕ wtedy 2p=k³−1=(k−1)(k²+k+1), z warunku (*) wiemy, że k jest nieparzyste, a zatem k−1 parzyste, z kolei k²+k+1=k(k+1)+1 jest nieparzyste, jako że k(k+1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb. Teraz kluczowe jest zauważyć ze 2p ma tylko cztery dzielniki: 1,2,p,2p, gdyż p jest liczbą pierwszą. W równaniu 2p=(k−1)(k²+k+1) widzimy ze musi zachodzić: k²+k+1=p, gdyż wcześniej udowodniliśmy, ze jest to liczba nieparzysta. Istnieje tylko jeden taki przypadek poza k²+k+1=1 co tutaj nie może zachodzić. Mamy zatem także k−1=2 (bo (k−1)(k²+k+1)=2p) czyli k=3. Podstawiając w równaniu (*) otrzymujemy p=13 i jest to jedyna liczba pierwsza spełniająca warunki zadania

b.: czy full wypas = Keira?

Keira: Nie, Keira to Keira. Full wypas to ktoś inny

think: no to Keira pozbawili Cię szansy na pomyślenie nad zadaniem...

Keira: cóż...bywa i tak