bardzo prosze o pomoc patriszia: 1. znajdz pierwiastki wielomianu: W(x)=x³−x²−10x−8 bardzo proszę o rozwiązanie

TOmek : W(x)=x³−x²−10x−8 z tw. o pierw. wymiernych dzielniki −8 1,−1,2,−2,4,−4,8,−8 W(1)=1−1−10−8 ≠0 W(−1)= −1−1+10−8=0 −1 jest pierwiastkiem tego wielomianu takze dzięki tw. Bezout'a wiemy ,ze wielomian ten jest podzielny przez (x+1) bo , (x−x₁)⇔(x−(−1)) dzielisz wielomian przez W(x)=x³−x²−10x−8 (x+1) wyjdzie Ci równanie kwadratowe szukasz pierw i masz wynik

TOmek : taki błąd słowny dzielisz wielomian W(x)=(x3−x2−10x−8) przez (x+1) wyjdzie Ci równanie kwadratowe szukasz pierw i masz wynik

Eta: 1 sposób: Kandydatami na pierwiastki całkowite są podzielniki wyrazu wolnego ( −8) czyli : −1, 1, −2, 2, −4, 4, −8, 8 W(−1)= −1−1 +10−8=0 => x= −1 jest pierwiastkiem tego wielomianu W(−2) = −8−4+20−8=0 => x= −2 jest pierwiastkiem W( 4)= 64 −16 −40−8=0 => x= 4 jest pierwiastkiem odp: pierwiastkami tego wielomianu są: x= −1 v x= −2 v x= 4 Rozkład na czynniki :W(x) =(x+1)( x+2)(x−4) 2 sposób: W(x) = x³ −4x² +3x² −12x +2x −8 W(x)= x²( x−4) +3x( x−4) +2( x−4) = (x−4)( x² +3x +2)= ( x−4)(x+1)(x+2) x=4 v x= −1 v x= −2

kejtimeluaaa: DZIEKUJE BARDZOOOOOOOO juz wiem o co chodzi.

patriszia: dzieki bardzo, ja juz tez wiem ocb

Gustlik: Schemat Hornera: 1 −1 −10 −8 1 1 0 −10 −18 −1 1 −2 −8 0 ← −1 jest pierwiastkiem (reszta = 0) Teraz rozwiązujemy funkcję kwadratową x²−2x−8 Δ=(−2)²−4*1*(−8)=4+32=36 √Δ=6

	2−6
x1=		=−2
	2

	2+6
x2=		=4
	2

Odp: x=−2. x=−1, x=4.

Eta: Gustlik W tym przypadku to Ty teraz "jedziesz z Gdańska do Sopotu przez Londyn" bo wszystkie pierwiastki są podzielnikami wyrazu wolnego ! Pozdrawiam

Gustlik: Eta, a skąd Ty wiesz bez liczenia, żę będzie akurat −1, −2 i 4, a nie np. 1, 2 i −4? Ja tego na pierszy rzut oka nie widzę, a tym bardziej nie widzą tego uczniowie. Skąd na oko wiesz, że nie ma pierwiastków niewymiernych? Masz aż 8 podzielników, więc trzeba byłoby liczyć tak długo, aż trzy razy wyjdzie zero. Ja robię Hornera, żeby nie dzielić słupkiem aż trafię na pierwszy z pierwiastków, potem mam funkcję kwadratową do rozwiązania, bo Horner obniża stopień wielomianu o 1, bo to jest odmiana dzielenia przez dwumian (x−p). Wcale nie jest to okrężna metoda, bo mało kto widzi od razu, jakie bedą to pierwiastki. I jest to metoda o wiele prostsza niż szkolna, bo w szkołach robią tak: po wypisaniu dzielników liczą W(1), W(−1), W(2) itd. aż trafią na piewiastek, a potem dzielą słupkiem przez dwumian, np. przez (x+1). Ja robię to wszystko Hornerem, bo jest łatwiej. Twoim sposobem też można zrobić to Hornerem, łatwiej jest mnozyć i dodawać, niż sumować potęgi większych liczb − po prostu wstawiać do Hornera podzielniki, aż wyjdzie trzy razy zero: Robisz tak: 1 −1 −10 −8 1 1 0 −10 −18 −1 1 −2 −8 0 ←x=−1 2 1 1 −8 −24 −2 1 −3 −4 0 ←x=−2 4 1 3 2 0 ←x=4 Odp: x=−2, x=−1, x=4.

Lucyna: chyba wystarczy się zadowolić tym, że wielomian stopnia 3 ma co najwyżej 3 pierwiastki więc jak znajdę te 3 liczby, to nie muszę szukać dalej...

Eta: Właśnie o to chodzi, o czym pisze Lucyna

Gustlik: Może i tak, ale wygląda mi, że Ty od razu po wzorze wielomianu rozpoznasz pierwiastek, bo nie widzę, żebyś liczyła np. W(1) czy W(2), tylko od razu zrobiłaś W(−1), W(−2) i W(4). Zrobiłaś to zadanie tak, jakbyś od razu "na oko" widziała te rozwiązania. Niestety, uczniowie w 99 % przypadków nie widzą, ze pierwiastkiem jest akurat −1, a nie 1, jeżeli nie obliczą. Natomiast schemat Hornera jest łatwo przyswajalny, bo spisuje się pierwszy współczynnik wielomianu do dolnego wiersza, a liczbę "podejrzaną" o pierwiastek mnoży się przez ostatnią w danym momencie liczbę z dolnego wiersza i do tego dodaje następny współczynnik z górnego wiersza i tak robisz do końca, a na końcu dolnego wiersza tabelki otrzymujesz resztę z dzielenia. Jak wyjdzie 0, to masz już jeden pierwiastek. Poza tym każdy zna funkcję kwadratową, więc jak ją już otrzymamy, to najłatwiej jest policzyć Δ, x₁ i x₂, niż kombinować, co tu jeszcze może być, bo mogą być dwa pierwiastki niewymierne. Po prostu metoda, może nie jest najkrótsza w zapisie, ale najmniej kombinacyjna ze wszystkich możliwych. I o to mi właśnie chodzi, im mniej kombinowania, tym mniej czasu schodzi na rozwiązanie zadania. Pozdrawiam.*******

think: W(1) policzył TOmek, także to już odpadło. Z dwojga możliwości, to prędzej pomylę się w liczeniu hornerem niż liczeniu f(+/−1) itd

TOmek : Ja do Gustlika nic nie mam gdyż dzięki niemu nie musze uczyc sie 30 wzorow z trygonometrii. Często sie kłocice na temat rozwiązania zadania i po prostu Gustlik trzeba zrozumieć jedną kwestię, że uczniowie przygotowują sie głownie do matury, tam nie chodzi by zrobic zadanie w 2 linijkach tylko trzeba je rozwiązaywac "klasycznymi" metodami by trafić w klucz.(nie chodzi mi akurat o te zadanie, bo takie coś by na pewno zaliczyli". Wiem ,ze moje zdanie nic tu nie znaczy pewnie mnie "zdissujecie" odrazu ale chciałem wtrącić swoje 3 grosze

Gustlik: Eta, ja wiem, że Ty wiesz, co to jest schemat Hornera, ale powiedz mi, skąd ty od razu wiedziałaś, że pierwiastkami są −1, −2 i 4, bo nie sprawdzałaś dla pozostałych podzielników? Ja tylko pokazałem mój sposób, bo jest najmniej kombinacyjny, a nie we wszystkich szkołach go uczą. Pozdrawiam.*******

Eta: Masz w równaniu prawie same minusy zatem jak otrzymasz W(x)= 0 dla x= 1

Gustlik: Eta, ja to wiem i Ty to wiesz, ale uczniowie tego nie widzą, jeżeli nie obliczą. Dla x=1 jest jeszcze latwo sprawdzić, bo sumujesz same współczynniki wielomianu, ale jak "na oko" wyczaić, że 4 jest pierwiastkiem, a −4 już nie? Bez liczenia lub schematu Hornera to nie jest takie proste. Dlatego sprawdzam po kolei wszystkie pierwiastki. Owszem − wykombinowałem ostatnio taką prostszą metodę szukania pierwiastków, ale dla wielomianów, których wszystkie składniki są tego samego znaku, np. x³+6x²+11x+6, −x³−5x²−10x−2, x⁴+2x³+3x²+x. Takie wielomiany mogą miec TYLKO pierwiaski ujemne, ewentualnie 0, gdy wyraz wolny=0. Opis jest tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=121 . Gdy masz taki wielomian to od razu wiadomo, że szukasz tylko wśród pierwiastków ujemnych, bo jak masz x na końcu to wyłączasz przed nawias (wtedy jest x=0) i szukasz pierwiastków wielomianu w nawiasie. I tumacze to uczniom, gdy zdarzy się taki wielomian. Ale jak masz składniki róznych znaków, to pierwiastki mogą też być różnych znaków. Pozdrawiam.*************

Eta: Wrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr Pozdrawiam

Gustlik: Eta, nie warcz na mnie ja wiem, że Ty znasz te metody, ale uczniowie w większości ich nie znają, z prostej przyczyny: w wielu szkołach nie uczą schematu Hornera (a szkoda), w wielu szkołach nie uczą sposobu znajdowania pierwiastków dla wielomianów o tych samych znakach itp. Naprawdę uwierz mi w tym przykladzie może będzie jedna osoba na 100, że od razu wskaże wszystkie pierwiastki BEZ LICZENIA. Na piechotę to tylko dla x=1 ewentualnie −1 mozna sprawdzić, ale i tak trzeba potem dzielić przez dwumian. Dlatego tam, gdzie nie moge od razu wykluczyć pewnych pierwiastków, sprawdzam Hornerem wszystkie podzielniki do momentu, az któryś da resztę =0. Wtedy mam wielomian o 1 stopień niższy i rozwiązuję ten otrzymany wielomian wykluczając od razu liczby, które nie były pierwiastkami początkowego wielomianu. Jeżeli jest to funkcja kwadratowa to liczę Δ, x₁, x₂. Po prostu NAJMNIEJ KOMBINOWANIA. Myślę, że wiesz, o co mi chodzi. Pozdrawiam.

Gustlik: TOmek, cieszę się, ze uprościlem Ci naukę trygonometrii. Jeszcze jedna sprawa: na maturze z matmy nie ma klucza do zadań otwartych, jest tylko do zamkniętych. Ale w tych zadaniach wic polega na zaznaczeniu właściwej odpowiedzi A, B, C lub D i egzaminatora nie interesuje, jak do tego doszedłeś, nie sprawdzają nawet rozwiązań. Jeżeli np. w zad. 1 ma być odpowiedź A, to masz zaznaczyć A, komisję nie obchodzi, jak do tego doszedleś, mogłeś strzelić. Natomiast w zadaniach otwartych możesz zastosować wszelkie znanie Ci wzory i metody, nawet te, których nie ma na karcie wzorów, nawet te, których nie ma w programie szkolnym. Specjalnie kiedyś dzwonilem w tej sprawie do OKE Wrocław, matematyk z OKE powiedzial mi cytuję: uczeń może nawet skorzystać z twierdzenia Menelaosa, jeżeli je zna i jeżeli będzie je umiał zastosować. A twierdzenia Menelaosa nie ma nawet na rozszerzeniu. Na maturze obowiązuje więc zasada: wszystkie chwyty dozwolone, byleby tylko były prawidłowe. Dlatego ja uczę przede wszystkim tych "chwytów", które zajmują możliwie najmniej czasu, a większości tych "chwytów" nie przerabia się na lekcjach, tylko przerabia się "chwyty" trudniejsze, bardziej kombinacyjne. A na maturze czas jest bezcenny. Pozdrawiam.

think: TOmek, my jesteśmy ludzie kulturalni mamy własne zdanie na pewne tematy i ciężko nam je zmienić, ale szanujemy opinie innych, choć niekoniecznie się z nimi zgadzamy także możesz być spokojny o zdissowanie, kasacji ulegają tylko teksty niecenzuralne, albo takie w których ktoś się wykazał mega zaćmieniem i palnął głupotę, po co zostawiać dowody kompromitacji z chwili słabości...

TOmek :

b.: a ja mam ciągle jednak wątpliwości co do mnożenia metod, żeby na każdą sytuację mieć najprostszą... może rozwiąże się szybciej, ale ile metod trzeba pamiętać np. ,,metodę szukania pierwiastków, ale dla wielomianów, których wszystkie składniki są tego samego znaku, np. x³+6x²+11x+6'' jeśli przyjmiemy dla uproszczenia, że znaki we współczynnikach wielomianów pojawiają się niezależnie z częstościami 1/2 (pomińmy przypadek zerowych wsp.), to tylko co ósmy wielomian trzeciego stopnia i co szesnasty wielomian czwartego stopnia będzie miał wszystkie składniki tego samego znaku −− szansa na zastosowanie metody jest więc dość mała i moim zdaniem, nie opłaca się takiej metody pamiętać oczywiście co innego, gdy dla kogoś ta metoda jest naturalna i wie, skąd ona wynika − ale wtedy nie musi jej pamiętać Pozdrawiam