Zadanie z ciagow Luka: Czesc, czesc mam nastepujacy problem...a moze nie tyle problem co chcialbym sprawdzic czy dobrze wykonalem swoje zadanie...dlatego jesli ktos bylby na tyle chetny do rozwiazania mi tego to: Oblicz a₁ i q majac dane: a₃=12, a₅=48 Oblicz sume 5−ciu jego wyrazow. Z gory bardzo dziekuje

Eta: Napisz jak rozwiazywałeś....... sprawdzimy

Eta: Wpuszczasz nas w"maliny" Pewnie chciałeś dostać gotowca, co?

Maciek: No chyba tak Eta

think: dajcie mu trochę czasu, jak się nie odezwie załóżmy do wtorku no to wtopa... ale może wrzucił wpis i poszedł spać...

Luka: Ja zrobilem inaczej i moja dziewczyna zrobila inaczej i teraz nie wiemy kto ma dobrze (o ile ktores z nas ma dobrze w ogole haha) Dane: a₃ = 12 a₅ = 48 a₁ = ? q = ? wzror ogolny na wyraz n: a_n = a₁*qⁿ⁻¹ 12 = a₁*q² 48 = a₁*q⁴ a₁ = 12:q² 48 = (12:q²)*q⁴ a₁ = 12:q²

	12
48 =		* q4 (skrocilismy ulamek z q4...nie wiem czy tak mozna)
	q2

a₁ = 12:q² 48 = 12*q² a₁ = 12:q² q² = 4 a₁ = 12:q² q = 2 a₁ = 12 :2² q = 2 a₁ = 3 q = 2 Suma 5 wyrazow ciagu wzor ogolny:

	1−qn
Sn = a1 *
	1−q

i teraz ja policzylem tak: a dziewczyna tak:

	1−25		1−25
S5 = 3*		S5 = 3*
	1−2		1−2

	1−32		1−32
S5 = 3*		(skrocilem ulamek) S5 = 3*
	1−2		−1

	31
S5 = 3 * 16 S5 = 3*
	1

S₅ = 48 S₅ = 93 No i teraz kto ma dobrze, kto ma zle i czy w ogole ktokolwiek z nas mialo racje

Eta: Zadanie banalne Mam dzisiaj "wieczór dobroci " dla zwierzyny, która wpuszcza mnie w maliny a₅= a₃*q² => 12*q²= 48 => q²=4 => q= 2 v q= −2 to: a₃= a₁*q² => 12= a₁*4 => a₁= 3 mamy dwa takie ciągi: 1) a₁= 3 i q= 2 2) a₁=3 i q= −2 ponieważ tych wyrazów jest tak niewiele , to: 1) S₅= a₁+a₂+a₃+a₄+a₅ = 3+ 3*2+ 12+ 3*2³ +48=...... 2) S₅= 3+3*(−2)+ 12+3*(−2)³ +48=.........

Luka: jak widzicie nie chcialem Was wykorzystac na gotowca...tylko pisanie tego troche mi zajelo tutaj

think: i co Eto łyso Ci teraz? Oboje macie poniekąd źle Luka, bo zabrakło wam przypadku drugiego czyli q = −2 natomiast Ty powinieneś zdecydowanie przypomnieć sobie materiał ze skracania w ułamkach... tam się skraca gdy są iloczyny nie sumy....

Eta: Hehe...... "łyso mi nie jest" Chciałam Lukę zmusić do napisania swojego rozwiązania . Jak widzisz Luko moje rozwiązanie zajęło tylko parę linijek Nawet sumę tych pięciu wyrazów można policzyć na "piechotę" bez wzoru . Pozdrawiam Ciebie i Twoją dziewczynę

Luka: No wlasnie sie troche zdziwilem jak zobaczylem Twoje rozwiazanie haha...ja sie tutaj tak rozpisuje a Ty na pare linijek mi napisalas odpowiedz haha A tak schadzac troche z tematu to tak mnie zastanawia od jakiegos czasu jak tu wchodze...jak to jest ze Wam sie chce tu wchodzic i rozwiazywac komus zadania albo pomagac w nich, mi by sie szczerze nie chcialo i strasznie Was podziwiam haha

think: Luka, każdy ma naturę ekshibicjonisty, z tym że chwalimy się tym co mamy najlepsze jedni ciało inni umysł A tak na poważnie, nie będę tu robić z siebie świętej, ta rozrywka w 'pomaganie' pozwala mi nie zapomnieć z biegiem czasu, bo na bieżąco muszę odświeżać swoje wiadomości a poza tym spotkać ludzi z podobnym poczuciem humoru − bezcenne...

Gustlik: Znowu efekt liczenia nóg koniom i dzielenia przez 4. Tak uczą w szkołach niestety.... Nauczyciele się kochają w układach równań jak zwariowane nastolatki, a tymczasem w ciągach można rozwiązywać większość zadań na JEDNEJ NIEWIADOMEJ. Boże widzisz i nie grzmisz. Oblicz a₁ i q majac dane: a₃=12, a₅=48 Oblicz sume 5−ciu jego wyrazow. Można BEZ UKŁADU RÓWNAŃ: W ciągu geometrycznym dzielisz wyraz o wyższym numerze przez wyraz o niższym numerze,

	am
odejmujesz numery wyrazów i masz potęgę q, wg wzoru:		=qm−n.
	an

a5
	=q2 (odejmujemy numery wyrazów i stąd mamy potęgę q, 5−3=2)
a3

48
	=q2
12

4=q² q=2 lub q=−2

	a3
a1=
	q2

	12
a1=		=3
	4

Mamy dwa ciągi: a₁=3 i q=2 oraz a₁=3 i q=−2 A sumę możesz policzyć zarówno ze wzoru jak i na piechotę. Myślę, że dalej dasz rade.

Eta: Gustlik ........nie wkurzaj mnie Czym różni się moje rozwiązanie od podanego przez Ciebie?

Gustlik: Sorki, Eta, to nie było do Ciebie, tylko do Luki, bo pojechał do Rzymu przez Krym. Miał panią od matematyki, która za przeproszeniem dostawała podniecenia na widok układów równan i do rozwiązywania ich jak najdluższą drogą , jak większość nauczycieli zresztą.

Eta:

think: Gustlik idź Ty chłopie do psychoterapeuty, bo zauważam u Ciebie silną fobię na punkcie nauczycielek matematyki... Miałeś traumatyczne przeżycia ze swoją czy jak? Zdaje się, że jesteś dorosły, to może przejdź nad tym do porządku dziennego i nie generalizuj, bo nie podobają mi się insynuacje na temat osób, których życie zawodowe to próba nauczenia innych czegokolwiek. Tym bardziej, że z zakresu matematyki materiału nie przybywa a wręcz ubywa z każdym rokiem a mimo to te nasze orły, sokoły nie potrafią się z tym uporać. Uważam, że to karygodne. Wynika nie z lenistwa nauczycieli lecz uczniów.

Gustlik: Think, nie miałem traumatycznych przeżyć, wręcz odwrotnie, miałem fajną, ckoć wymagającą matematyczkę, która potrafiła nauczyć. Tylko dzisiaj nauczyciele uczą pokręconymi metodami, zadania, które można rozwiązać w 5 minut zapisując trzy linijki robi się tak, jak to zrobił Luka − chyba z 15 linijek i zajmują całą stronę. Luka zrobił to najdłuższą metodą z możliwych, a jak już robił układem równan, to mógł podzielić stronami w tym miejscu: 12 = a₁*q² 48 = a₁*q⁴ I miłby: 48/12=q², bo a₁ by się skróciło. q²=4 q=2 lub q=−2 Niestety dzielenia stronami nie ucza, tylko metoda podstawiania, a ta jest najdłuższa i najbardziej pokręcona ze wszystkich metod. A potem nasze orły nie umieją, bo im dłuższa i bardziej pokręcona droga, tym łatwiej zbłądzić. Ja uczę prosto, a nie na okrętkę i moim celem jest pokazanie takich metod na tej stronie, bo w szkole ani w podręcznikach ich nie uświadczysz. Pozdrawiam.********

Luka: Gustlik, jezeli jest ten sposob zeby wlasnie krocej policzyc to wszystko w ciagu geometrycznym, to czy jest jakis podobny krotszy sposob tyle ze do ciagu arytmetycznego? Bo mialem np zadanie ktore brzmialo podobnie do tego co tu wlasnie przedstawilem ale tyczylo sie ciagu arytmetycznego: Oblicz a₁ i r majac dane a₄=13 i a₉=38 I to zadanie zrobilem tak jak to poprzednie, czyli ukladem rownan...i jezeli jest jakis prostrzy sposob na policzenie tego to bylbym wdzieczny jakbys mi go pokazal Bo zgodze sie z Toba ze obliczanie tego ukladem rownan zabiera strasznie duzo czasu i spodobal mi sie ten Twoj krotszy sposob

Godzio: a₉ − a₄ = 5r −− bo 9 − 4 = 5 38 − 13 = 5r 25 = 5r r = 5 a₁ = a₄ − 3r −− bo 1 = 4 − 3 a₁ = 13 − 15 = −2 To jest na podstawie tego jak robi Gustlik

Luka: Godzio − kurde..zgadza sie z moimi obliczeniami, no to w takim razie dzieki. Nawet nie wiecie jak bardzo mi sie to przyda

Gustlik: Dzięki Godzio, uprzedziłeś mnie. Lubię matme po ludzku, a nie naokoło. Pozdrawiam.

Gustlik: Jeszcze do think: nauczyłem jedną z uczennic LO rysowania wykresu funkcji liniowej za pomocą geometrycznej interpretacji współczynników równania prostej y=ax+b. Jest o wiele szybciej niż tabelką. W szkołach tego nie uczą, choć w niektórych podręcznikach znalazłem tę metodę, na którą sam wpadłem wcześniej. Efekt był taki, że ja nauczyłem uczennicę, a uczennica nauczyła swoją panią od matematyki. Pani zdziwiła się, co to za metoda, dopiero jak sprawdziła na kilku funkcjach, to doszła, skąd to się wzięło. Innego ucznia nauczyłem dzielenia wielomianów schematem Hornera − też jego nauczycielka nie znała tej metody i robili wszystko słupkiem − chyba 4 razy dłużej. Niestety takich mamy nauczycieli, choć wiem, że nie wszyscy tacy są. Ale ogromna większość nie pokazuje prostych metod, tylko naokoło. Ma być układ równań i koniec i do tego jeszcze metoda podstawiania i przepisywanie 20 razy jednego równania typu y=5−x, z którym i tak nie można nic zrobić, dopóki nie rozwiążesz drugiego równania i wyliczysz x. Ma być metoda typu tu dodaj, tam odejmij i koniec. Uczeń ma wymyślać liczby pasujace do wzorów skróconego mnożenia i kombinować jak koń pod górę, zamiast równanie okręgu przekształcić za pomocą prostych wzorów na przeliczanie współczynników. A potem uczniowie nie wiedzą, co i skąd to się wzieło. Nie mam fobii do nauczycielek, ale do pokręconych metod rozwiązywania zadań, które są wszkole stosowane nagminnie.**********

think: Gustlik, ja nie mam pretensji do Ciebie o chęć szerzenia prostszych rozwiązań, tylko chciałabym abyś przy okazji tychże darował sobie opinię na temat nauczycieli. Pozdrawiam Think.

b.: nie mogę się do końca zgodzić z Tobą, Gustliku Proste metody są fajne, ale są to dodatkowe (nowe) metody, tymczasem wielu uczniów nie jest w stanie nauczyć się więcej niż, powiedzmy, pięciu metod. W takiej sytuacji trzeba postawić na opanowanie kilku możliwie ogólnych, choć nie najkrótszych metod. Poza tym, wiele z opisanych metod to tylko inne sposoby zapisu. Np. czy rysowanie wykresu funkcji y=ax+b różni się czymś od rysowania za pomocą tabelki dla 2 punktów: 0 i 1? A jeśli chodzi o otrzymywanie równania okręgu, to ja takiej szybkiej metody na pamięć nie znam i uczyć się jej na pamięć nie zamierzam, bo zbyt rzadko to się przydaje. Najlepiej, jak są podane 2 metody, ze wzorami skróconego mnożenia i z ,,Twoimi'' wzorami, dla jednych prostsza będzie 1. metoda (mniej zapamiętywania), dla innych druga (mniej kombinowania). Pozdrowienia

Gustlik: Ja mam doświadczenie z uczniami i prosztsze metody, które tu prezentuję, są lepiej przez nich przyswajane, niż te szkolne.***********

Gustlik: Do Think: przepraszam, ejżeli Cię uraziłem, ale prawda jest taka, że ogromna większość nauczycieli uczy metodami na okrętkę, taka jest prawda. Pokażą tylko jedną metodę − np. układ równań i koniec. Wiem, że onio chcą nauczyć, ale czemu nie pokazą metod prostszych? Pozdrawiam. )

think: Gustlik, na to nic nie poradzę... mnie też uczono na okrętke, ale wymagano tyle, że do tych sposobów na skróty sama potrafiłam dojść i jak wolałam rozwiązać inna metodą to nikt mi z tego nie robił nieprzyjemności. Mogę Ci jedynie zasugerować, abyś utworzył skrypt z Toich prostszych metod i rozesłał po szkołach. Droga mailowa daje przecież nieograniczone możliwości... A zgodzisz się chyba, ze mna, że kto jak kto, ale matematycy to osoby, które chętnie przyjmują propozyje o ile ich wartość jest uzasadniona.

Gustlik: No dobrze, ale myślę, że większość nauczycieli zna te prostsze metody, więc czemu nie przerabiają ich na lekcjach? Tego nie rozumiem. Przecież by to przyśpieszyło przerabianie materiału, bo uczniowie szybciej by zrozumieli temat.*************

Gustlik: Wiesz co, Think, chyba uzbierałoby sie na niezły podręcznik do matematyki, bo niemal w każdym dziale matematyki, zwłaszcza z zakresu LO od działań na liczbach poprzez funkcje, ciagi, skończywszy na geometrii, wpadłem na prostsze od szkolnych metody rozwiązywania zadań. Rozpracowałem równania z wartością bezwzględną, funkcję liniową, funkcję kwadratową, wielomiany, ciagi, logarytmy, geometrię analityczną, geometrię na płaszczyźnie i w przestrzeni − wszędzie da się zrobić prościej. W każdym dziale znalazłem co najmniej kilka metod prostszych od szkolnych. Tępię układy równań, tam gdzie nie są one potrzebne, tępię kombinacyjne metody typu "dodać−odjąć" polegające na wymyslaniu liczb pasujących do wyrażenia tam, gdzie można to zrobić bez kombinowania, np. podstawić do gotowych wzorów itp. I naprawdę uczniowie lepiej chwytają tymi prostymi metodami, bo są przede wszystkim mniej czasochłonne i bardziej zrozumiałe. Po prostu MATMA PO LUDZKU − taki mam cel.

Gustlik: A co powiesz Think na przekształcanie ułamków dziesiętnych na zwykłe? W szkolach to robią tak:

	23		523
Np. 5,23=5		=
	100		100

Po co wyciąga się te 5 całych? A nie jest prosciej przyjąć zasadę: w mianowniku ma być 1 z tyloma zerami, co liczba miejsc po przecinku, a ułamek dziesiętny wpisujemy w całości do licznika, tylko bez przecinka? Czyli:

	523
5,23=		(2 cyfry po przecinku,a więc w mianowniku 2 zera czyli 100, a ułamek 5,23
	100

wpisujemy bez przecinka do licznika, czyli będzie 523). Ale wtedy omija się procedurę zamiany na ułamek niewłaściwy czyli "pozbywania się" całości z ułamka zwykłego, która w tego typu zadaniach potrzebna jest tak samo, jak liczenie nóg koniom i potem dzielenie przez 4.

think: Gustlik dałabym Ci dwie moje 'najzdolniejsze' uczennice... wtedy byś się dowiedział, że tą metodę jak i wiele innych można potłuc o kant tył** Zresztą to jest metoda jak sobie radzić z zamiana, ale czy utrwala ona w ich umysłach wiedzę o pozycyjności liczb, nie sądzę. Zresztą uzbierasz takich metod 100, podasz je uczniom i zobaczysz, że się motają, bo nie wiedzą która to była metoda, bo zwyczajnie nie rozumieją skąd to się bierze. Proza życia a im bliżej nowy rok szkolny i wznowienie sezonu korepetycyjnego tym mniej mam chęci do 'życia' (absolutnie nie zamierzam się na nie targnąć, taki zwrot).

Jakub: Gustlik w wielu miejscach napisałeś komentarze do zadań podając swoje alternatywne metody i dzięki Ci za to. Dobrze aby uczniowie mieli wybór. Ja często robię w sposób standardowy, po szkolnemu, ponieważ chcę, aby na tych stronach były typowe rozwiązania zadań matematycznych. Typowe, czyli takie sposoby, które są najczęściej uczone na lekcjach. Wiem, że wiele zadań da się rozwiązać prościej, bardziej pomysłowo. Jednak nie mam przekonania, aby tutaj zamieszczać takie rozwiązania. Jak czytający ich nie zrozumie, to co? Najczęściej nie ma kogo zapytać, a komentarze pisze zdecydowana mniejszość. think masz rację, że uczniowie oczekują podania gotowej metody i na korkach najczęściej im ją podawałem. W zasadzie powinienem powiedzieć: "sam pokombinuj". Tylko nie po to przychodziłem do nich na korepetycje, aby sami sobie wymyślali rozwiązania. Przynajmniej tak uczniowie myślą. Po setnym zadaniu, różnym od poprzedniego i setnej metodzie do zapamiętania, sami dochodzili do wniosku, że rozwiązania trzeba samemu wymyślić , bo wszystkiego nie da się zapamiętać . Niestety nie każdy to potrafił, łapał jak to się robi i wtedy pozostawała żmudne kucie na pamięć

Gustlik: Jakubie, to tylko kwestia wytłumaczenia, skąd to się bierze. Jeżeli wytłumaczysz, że np. w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy są w odstępie co "r" i rozrysujesz to na osi, uczniowie łatwo zalapią, ze między a₅ i a₈ jest 3r różnicy, czyli a₈−a₅=3r, a a₉=a₄+5r. Jeżeli wyprowadzisz im równanie ogólne okręgu z równania kanonicznego i wyprowadzisz wzory na przeliczenie współczynników tak jak ja to zrobiłem − też załapią − wolą podstawiać do gotowych wzorów niż wymyślać liczby pasujące do wzorów skróconego mnożenia i potem zwijać. Ja tak uczę i z bardzo dobrym skutkiem. Z mojego doświadczenia wiem, że właśnie szkolne metody są − przynajmniej dla większości − zawiłe i nie zawsze zrozumiałe. Tak samo jest z dzieleniem wielomianów − ogromna większość woli dzielić schematem Hornera niż metodą klasyczną − słupkiem, bo jest szybciej i przejrzyście, czy z przekształcaniem funkcji homograficznej z postaci ogólnej na kanoniczną − uczniowie wolą podzielic licznik przez mianownik jak wielomiany, niz kombinować z podpasowywaniem liczb, aby mozna było rozbic ułamek i skrócić. Ja pokazuję wszystkie te metody i uczniowie są zadowoleni z tego. Pozdrawiam Jakubie.*******

think: inaczej tego się nie da podsumować

Gustlik: Think, uwierz mi, wiem, co piszę. Uczniowie wolą PROSTE metody, niż okrężne, nie przekonasz mnie, że tak nie jest. Naprawdę nieliczne osoby wolą na okrętke, może znajdzie się jedna na 50. Każdy woli PROSTO, bo wtedy widzi, co i skąd się wzięło i rozumie. Weź spróbuj ich nauczyć tych moich metod, a się przekonasz, że łatwiej będzie i Tobie i uczniom. Przekonasz się, a jeszcze niektórych zainteresujesz matmą. Pozdrawiam.**********

think: Gustlik ciężko się uczy kogoś, kto nawet nie potrafił się zmobilizować do nauki tabliczki mnożenia, o jakich sposobach chciałbyś z taką osobą pomówić, no chyba, że na naukę tabliczki mnożenia też masz sposób to usilnie o jego przedstawienie.

Gustlik: Ja tu piszę o uczniach LO, bo tam naprawdę jest co upraszczać, a ci uczniowie tabliczkę mnożenia w wikeszości znają. W LO jest ten program pokręcony na wszystkie możliwe sposoby. Mi chodzi o proste sposoby rozwiązywania zadań z funkcji, ciagów, geometrii analitycznej, pokazanie jak najprostszych metod rozwiązywania układów równan itp. Np. w ogóle w szkołach nie uczą dzielenia równań stronami, a często ta metoda się przydaje, zwlaszcza gdy układ zawiera dwa podobne równania zawierające iloczyny tych samych wielkości, jak chocby zadanie Luki z ciągiem geometrycznym. Męczył się chłopina metodą podstawiania (najdłuższą i najtrudniejszą ze wszystkich metod), do tego przepisywał na okrągło to jedno równanie a₁=12:q² nie wiadomo po co (teraz właśnie tak uczą), a można było podzielić stronami i jest szybciej. Inne tego typu układy równań powstają w zadaniach z geometrii, gdzie potrzebny jest wzór na pole koła P=πr² i obwód koła l=2πr. Te wzory też są bardzo podobne i rozwiązując taki układ można równania podzielić stronami, a w szkołach wałkują metodę podstawiania. A już przepisywanie równania typu "y=5−x" 20 razy, az nie rozwiąze się drugiego równania uważam za kompletną bzdurę. To tak, jakby ktoś chciał jechać z Gdańska do Sopotu i zrobił sobie 20 rund do Warszawy i z powrotem. Proszę think, wytłumacz jaki jest sens przepisywania na okrętkę tych równań w metodzie podstawiania

Gustlik: Zobacz think − Godzio rozwiązał Luce "moją" metodą zadanie z ciagiem arytmetycznym − 6 linijek i dwa proste równanka z JEDNĄ niewiadomą, żadnych pokręconych ukladów równań, nawet słaby uczeń zalapie i zrobi to z górą w 10 minut. Czemu tego typu proste zadania rozwiązuje się w szkole pogmatwanymi metodami, po co tutaj układy równań, jak można robić na JEDNEJ niewiadomej?