Wielomiany konrad509: Mam problem z wielomianem x³−5x−4=0 Próbowałem go zrobić pewną metodą (poniżej) która wydawała mi się prawidłowa ale nie jest bo wynik wyszedł źle.Pytanie czemu ta metoda jest zła? x³−5x−4=0 x³−5x=4 x(x²−5)=4 x=4 x²−5=4 x²=9 x=−3 ∨ x=3

robinka: x³−x−4x−4=0 x(x²−1) − 4(x+1)=0 x(x−1)(x+1)−4(x+1)=0 nie można porównywać do 4 tylko do zera, dokończ to zadanie

think: znaczy się można porównywać do innych liczb, ale porównanie iloczynu do 0 jest najprostszym sposobem na znalezienie rozwiązania, bo np taki wielomian: n(n+1) = 6 to iloczyn dwóch kolejnych liczb dających 6, można oczywiście przedstawić to w postaci iloczynu z 0 po drugiej stronie równania, ale i w tej postaci można otrzymać rozwiązanie

Godzio: bo nie możesz tak zrobić x = 4 to w takim razie x² − 5 = 1 i takiego czegoś jest nieskończenie wiele tak się rozwiązuje takie równania: Sposób I rozbijasz wyraz środkowy tak aby po wyciągnięciu przed nawias otrzymać wyraz wspólny: x³ − 5x − 4 = 0 x³ − x − 4x − 4 = 0 x(x² − 1) − 4(x + 1) = 0 x(x − 1)(x + 1) − 4(x + 1) = 0 (x + 1)( x(x − 1) − 4 ) = 0 (x + 1)(x² − x − 4) = 0 x = −1 v x² − x − 4 = 0 ⇒ a = 1, b = −1, c = −4 → Δ = b² − 4ac = 1 + 16 = 17, √Δ = √17

	−b + √Δ		1 + √17
x1 =		=
	2a		2

	−b − √Δ		1 − √17
x2 =		=
	2a		2

	1 + √17		1 − √17
Odp: x = −1 v x =		v x =
	2		2

Sposób II szukasz pierwiastka wymiernego:

	podzielniki wyrazu wolnego
kandydatami są
	podzielniki współczynnika przy najwyższej potędze

czyli takimi kandydatami są: 4,−4,2,−2,1,−1 i sprawdzamy po kolei czy są to pierwiastki, jeśli jakiś się okaże pierwiastkiem to musisz podzielić ten wielomian przez (x − a) gdzie a jest pierwiastkiem wielomianu. A jak to sprawdzić czy jest pierwiastkiem ano tak: W(a) = 0 − jeśli tak będzie to znaczy że a jest pierwiastkiem W tym wypadku lecimy po kolei W(1) = 1³ − 5 * 1 − 4 = 1 − 5 − 4 = − 8 ≠ 0 W(−1) = (−1)³ − 5 * (−1) − 4 = −1 + 5 − 4 = 0, zgadza się więc dzielisz x³ − 5x − 4 : (x + 1) −−− i używasz albo schematu Hornera albo pisemnie zależy jak łatwiej po podzieleniu dojdziesz do postaci: x² − x − 4 w której tak jak wyżej liczysz deltę i pierwiastki Powodzenia

konrad509: Nie wiem jak to dalej zrobić.

konrad509: Dobra już rozumiem. Na początku też robiłem z rozbiciem, ale nie wiedziałem co dalej z tym: x(x² − 1) − 4(x + 1) = 0. Wydawało mi się że nic się nie da z tym zrobić Dzięki.

think: Godzio proszę bez takich imperatywów typu nie możesz... bo możesz, ale uchetasz się przy tym po łokcie utrudzisz jak dzik i ze dwa razy pomylisz, ale to, że jest to trudniejsza droga wcale nie znaczy, że nie możesz, tylko ewentualnie można powiedzieć, że wygodniej jest to zrobić metodą zaproponowaną przez Ciebie i Robinkę

Godzio: No może może ale z tego "mogę" zrobi się "nie mogę" bo takich przypadków jest milion sześćset sto dziewięćset

konrad509: A jeszcze takie coś. Mam wielomian x³−3x+2=0. Wiem że można go sprowadzić do postaci (x−1)²(x+2), ale czy to można było to zrobić prościej niż metodą poniżej? x³−3x+2=0 x³−x−2x+2=0 x(x²−1)−2(x−1)=0 x(x−1)(x+1)−2(x−1)=0 (x−1)(x(x+1)−2)=0 (x−1)(x²+x−2)=0 (x−1)(x²−x+2x−2)=0 (x−1)(x(x−1)+2(x−1))=0 (x−1)(x−1)(x+2)=0

think: jasne możesz zawsze poszukać pierwiastków wymiernych

think: ale czy to jest prostsze

Eta: można też tak: ........ ale o wiele więcej obliczeń kandydatami na pierwiastki całkowite są podzielniki wyrazu wolnego −1,+1, −2, +2 W( −1) ≠0 W(2)≠0 W( 1) = 1−3+2= 0 => x = 1 jest pierwiastkiem W( −2) = −8+6+2=0 => x= −2 jest pierwiastkiem dzielimy wielomian po lewej stronie przez ( x−1)(x+2)= x² +x −2 ( x³−3x+2) : ( x² +x+2) = x −1 zatem mamy rozkład x³−3x+2= ( x−1)(x+2)(x−1)= ( x−1)²(x+2) równanie ma trzy rozwiązania : x= 1 −−− pierwiastek dwukrotny x = 2

konrad509: To znaczy chodziło mi o to czy można prościej tą samą metodą czyli tym wyciąganiem przed nawiasy, czy można było do tego dojść wcześniej.