Zadanka Godzio: Zadania dla TOmka i Maćka 1. Rozwiąż równanie x² = y² + 2y + 13 w liczbach całkowitych x, y. 2. Wykaż że w trójkącie o bokach a,b,c i wysokościach odpowiednio h_a,h_b,h_c zachodzi równość:

1

1

1

1

1

1

(a + b + c)(

+

+

) = (ha + hb + hc)(

+

+

)

a

b

c

ha

hb

hc

3. Udowodnij że dla dowolnych liczb nieujemnych a,b,c zachodzi nierówność (a + b)(b + c)(c+a) ≥ 8abc 4. Niech a i b będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, ze jeśli ax²−ax−b < 0 dla każdego rzeczywistego x, to również |x − a| + b > 0

TOmek: po prostu nie nawidze takich typow zadan, masakra. Gdyby takie coś dali na maturze roz. nawet bym tego nie ruszył. 1. Rozwiąż równanie x² = y² + 2y + 13 w liczbach całkowitych x, y. x²=y(y+2)+1+12 x²=y² + 2y+1+12 x²=(y+1)²+12 x²−(y+1)²=12 wniosek jest nastepujący: kompletnie nie wiem co dalej robić

TOmek:

Godzio: x² − (y + 1)² = ( ... )( ... ) = 12 i co z tego wynika ?

Godzio: Po to tu jesteś żeby ruszyć takie zadania

Godzio: Ale to też nie powinieneś się tak od razu poddawać ja nad niektórymi zadaniami które Eta mi dawała siedziałem czasami nawet 2 h i w końcu dochodziłem do rozwiązania, liczy się to żebyś sam pomyślał

Maciek: x²−(y+1)²=12 [x−(y+1)][x+(y+1)]=12 (x−y−1)(x+y+1)=12

Maciek: Tyle wystarczy ,czy dalej coś trzeba zapisać ?

TOmek: widze ,ze kolega nie moj poziom ^^

Maciek: coś Ty nie żartuj

Maciek: Wezmę się za to 3

Godzio: to nie koniec Polecenie: rozwiąż równanie a wyników nie widzę

Godzio: Wystarczy się skupić : a * b = 12 −−−− a, b ∊ C a = ? i b = ? v a = ? i b = ? v a = ? i b = ? v ...

Maciek: a * b =12 Możliwości są takie no i wtedy gdy obie liczby są ujemne , ale to chyba nie oto chodzi ,żebu wypisać 12 możliwości? 4 * 3 =12 3 * 4 =12 1 * 12 =12 12 * 1 = 12 2 * 6 =12 6 * 2 =12

Godzio: no i ok teraz wracaj do tamtego i twórz układy równań np. 4 * 3 = 12 x − y − 1 = 4 i x + y + 1 = 3 pamiętając że x,y ∊ C

Maciek: x−y−1=4 x−y=5 x=5+y 5+y+y+1=3 2y=−3

	2
y=−
	3

	2
x=5−(−		)
	3

	2
y=−
	3

	2
x=5
	3

Maciek: I tak trzeba wszystkie liczyć ?

Godzio: dokładnie, teraz oblicz wszystko i podaj wyniki

Maciek: A masz wyniki gdzieś bo zanim to tutaj rozpisze a tak bym Ci liczby podał ?

Godzio: no o to chodzi żebyś liczby podał

Maciek: (−4,−1),(4,1),(4,−3),(−3,−4),(−4,1)

Godzio: (−4,−1) − odpada (−3,−4) −> chyba miało być (−4,−3)

Maciek: Możliwe bo liczyłem to szybko i nie sprawdzałem

Godzio: To teraz kolejne próbuj, ale postaraj się nie pisać kilka razy bzdur tylko od razu poprawne rozwiązanie 2 i 4 jest proste przy 3 trzeba chwilkę pomyśleć

Maciek: 2 to dla mnie czarna magia Nie mam pojęcia kompletnie jak udowadniać takie zadania. W 4 domyślam się ,że z ax²−ax−b<0 wyciągamy Δ i wtedy: a²+4ab<0 a(a+4b)<0 /:(a+4b) a<0 , ale nie wiem co to nam daje Z kolei wartość bezwzględną również można opuścić i otrzymujemy: Ix−aI+b>0 x − a + b > 0 v −x + a + b > 0 P.S. Wiem Godziu ,że Cię zawodzę

Godzio: po pierwsze nie możesz dzielić przez (a + 4b) bo nie wiesz czy jest dodatnie czy ujemne po drugie a < 0 to wynika z treści zadania po 3 |x − a| + b > 0 − wystarczy jakoś pokazać że b > 0 bo |x − a| ≥ 0

Godzio: Jeśli żadnego nie ruszycie to około 20 napisze rozwiązania, no chyba że ktoś inny już to zrobi , ale najlepiej by było gdybyście rozwiązali te zadania

Maciek: Godzio wolałbym ,żebyś rozwiązania podał później około północy bo później jeszcze będę próbował

Godzio: no to dobra

Maciek: Dobra Godziu poddaje się Odnośnie 4. zadania poddaj mi jak wykazać ,że to b>0. A w 2. zadaniu przypuszczam ,że 8abc można jakoś inaczej zapisać pewnie z jakiegoś wzoru , ale nie wpadłem jak

think: Maciek bo nie wiesz, że Godzio kocha zadania z takim faktem, że średnia arytmetyczna ≥ średniej geometrycznej

think: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc / : 8

a + b	b + c	c + a
			≥ abc
2	2	2

a + b
	≥ √ab pozostałe ułamki tak samo
2

i otrzymamy:

a + b	b + c	c + a
			≥ √ab*√bc*√ca = abc
2	2	2

think: co do czwartego zadania to wystarczy podać warunki dla funkcji kwadratowej. a < 0 i Δ < 0 ponieważ wartości funkcji są ujemne, a to znaczy, że ramiona paraboli będą skierowane w dół i parabola nie ma miejsc zerowych, zgadza się?

Maciek: Zgadza się

think: no to skoro mi już przyznajesz rację... to może porządnie rozwiążesz to zadanie tak od początku do końca wiesz tak, żeby mi się lżej spało po dobrze udzielonej podpowiedzi

Godzio: a ja proponuje coś takiego: f(0) = − b < 0 ⇒ b > 0 koniec dowodu

Godzio: No to jeszcze zostało zadanie 2 , kto chętny ?

Godzio: To wy dumajcie a ja idę dumać nad Widzew − Wisła = Remis

Maciek: Godzio na czym obstawiasz ?

think: Maciek Ty chyba nie wiesz o co chodzi to kryptarytm

Maciek: No to think spróbuję to zapisać jakoś

think: to do dzieła

Maciek: ax²−ax−b<0 Δ=a²+4ab Δ_a=0−4*1*4ab Δ_a<0 Nie wiem jak to a pokazać... wrrr

Godzio: Maciek które będzie zadanie teraz zapisywać ?

Godzio: nieco wyżej napisałem rozwiązanie ax² − ax − b < 0 dla x ∊ R f(0) < 0 −b < 0 b > 0 więc |x − a| + b > 0 c.n.d.

think: Maciek pamiętasz warunek? a < 0 i Δ < 0 także wylicz b z a² + 4ab < 0

Maciek: Godziu Twoje wyjaśnienie jest jasne , ale Think stwierdziła ,że można pokazać Δ<0 i a<0.

think: nom szybszy sposób. zresztą przeważnie prezentujesz ładne rozwiązania

Maciek: a(a+4b)<0/:a a+4b<0 4b<−a

	1
b<−		a
	4

think: no to przedstawiam moje rozwiązanie: Δ = a² + 4ab Δ < 0 a² + 4ab < 0 a(a + 4b) < 0 ponieważ a < 0 to też warunek to aby tam otrzymać liczbę ujemną z tego mnożenia to

	a
a + 4b >0 ⇒ b > −		⇒ b > 0
	4

think: Maciek podzieliłeś przez a, które jest ujemne i nie zmieniłeś znaku nierówności.

Maciek: No ok ,ale w którym miejscu z zadania wyczytałaś a<0? bo przez to mi całe zadanie nie wyszło.

think: "Udowodnij, ze jeśli ax²−ax−b < 0 dla każdego rzeczywistego x..." f(x) = ax² − ax − b masz udowodnić, że jeśli f(x) < 0 dla każdego x, a kiedy wartości funkcji kwadratowej są ujemne ? bo f(x) < 0 oznacza właśnie to, że wartościami funkcji są tylko liczby ujemne. Rysunek poglądowy...

Maciek: No wartości funkcji kwadratowej są ujemne wtedy gdy ramiona są skierowane w dół , a więc a<0 i Δ<0.

think: no i co doszedłeś do warunku że a < 0

Godzio: Dziękuję bardzo think za kwiatka ... za rybę też chodź już dzisiaj jadłem

Maciek: A można to wyznaczyć , czy to po prostu wystarczy wyczytać?

Godzio: to już mówi samo przez się: ax² − ax − b < 0 dla x ∊ R więc muszą być spełnione 2 warunki: a < 0 i Δ < 0

Maciek: Acha, "samo przez się" , po raz kolejny rzeczy dla was oczywiste dają mi do myślenia i.. dobrze Chociaż się czegoś od was nauczę , Dzięki

think: no nie Maciek, po prostu w tym wypadku tak się składa, że a ze wzoru ogólnego funkcji kwadratowej pokrywa się z a z zadania, gdybyś miał: dx² − dx − b < 0 to byłby warunek że a < 0 czyli w zadaniu to d < 0 tak? teraz to widzisz?

Godzio: Często się też zdarzają takie zadania na maturze np: Dla jakiej wartości parametru m nierówność jest spełniona przez każdego rzeczywistego x: mx² + mx − 5 + m < 0

Godzio: i wtedy musisz podać te 2 warunki a < 0 i Δ < 0 i znaleźć część wspólną

Godzio: w tym wypadku co podałem to akurat jest jeszcze m = 0 rozwiązaniem , ale takie zadania możesz się jak najbardziej spodziewać na rozszerzeniu

think: dobra idę spać, bo jutro a właściwie dziś będzie trzeba uczciwie popracować...w sensie odwalić większy kawał roboty, bez sugestii jakobym była oszustką

Maciek: Mógłbyś mi rozwiązanie napisać ?

Maciek: Bo chciałbym to jeszcze przejrzeć od góry do dołu

Maciek: think , Dobranoc

Godzio: które zadanie ?

Maciek: to teraz co podałeś

Eta: Miłego odpoczynku Dobranoc

Godzio: mx² + mx − 5 + m < 0 a < 0 ⇒ m < 0 Δ < 0 m² − 4m(m − 5) < 0 m² − 4m² + 20m < 0 −3m² + 20m < 0 m(3m − 20) > 0

	20
m∊(−∞,0) ∪ (		,∞)
	3

m = 0 0 + 0 − 5 + 0 < 0 −5 < 0 Odp: m ∊ (−∞,0>

Godzio:

Maciek: To nie jest trudne kojarzę to z początku 2 klasy

Maciek: a jeśli mx² +mx −5 +m > 0 to wtedy było by a>0⇒m>0 ?

Godzio: tak jest i do tego Δ < 0

Maciek: A kiedy będzie Δ>0?

Godzio: kiedy bedą 2 rozwiązania

Maciek: A kiedy poznam po zadaniu ,że będzie Δ=0 czyli 1 rozwiązanie , Δ<0 czyli część wspólna , Δ>0 czyli 2 rozwiązania ?

Godzio: a to zależy już od treści zadania

Maciek: Dla jakiej wartości parametru m nierówność jest spełniona przez każdego rzeczywistego x: mx2 + mx − 5 + m < 0 , Tu akurat po czym poznajemy ,że Δ<0?

think: Maciek po tym, że nierówność jest ostra

Maciek: A po czym poznajemy ,że nierówność jest ostra ?

Maciek: Po znaku? > lub < ?

Maciek: A jak jest ≤ lub ≥ to nierówność jest nieostra i wtedy Δ>0? A jak jest znak = to Δ=0?

think: nie jeśli jest np mx² + mx − 5 + m ≤ 0 to Δ ≤ 0

think: natomiast zadania w których Δ > 0 może być sformułowane np w taki sposób: funkcja osiąga max w czwórce.

Godzio: albo po tym że sokoro jest cała pod osią OX to w takim razie nie ma miejsc zerowych a skoro nie ma miejsc zerowych to Δ < 0 i kropka

Maciek: Ale to już jest np. nierówność nieostra ,a Δ≤0 ? to kiedy jest większa od 0?

Godzio: Poczekaj Maciek, zaraz poszukam mam takie zadanka z tego typu rzeczami napisze Ci kilka przykładów i zobaczysz o co kaman

think: albo funkcja ma dwa różne pierwiastki, no i wychodzi warunek Δ > 0

Maciek: Jeśli mx2 +mx −5 +m > 0 to wtedy było by a>0⇒m>0 ? i Δ<0? to wtedy będą miejsca zerowe ? więc mi nie pasuje

Maciek: No daj Godzio to zrobię

think: a kto powiedział, że będą miejsca zerowe? przecież Δ < 0

Maciek: Aaa no tak to wtedy będą ramiona do góry i wykres będzie nad OX.

think: aa serce czujesz

Maciek: Godziu napisz mi coś jak będziesz miał chwilę to jutro(dzisiaj) coś pomęczę, a ja lecę spać

Maciek: serce czujesz

think: leć, ja też może w końcu jakoś pokonam te 3 metry które dzielą mnie od spania

Godzio: 1.Dla jakich wartości parametru m nierówność mx² − (2m − 1)x + 2m − 1 > 0 jest prawdziwa dla każdego x ∊ R Warunki do rozwiązania: a > 0, Δ < 0 2. Dla jakich wartości parametru m nierówność (m−1)x² − (6 − 4m)x + 2 < 0 jest prawdziwa dla każdego x ∊ R Warunki do rozwiązania: a < 0, Δ < 0 3. Dla jakich wartości parametru m równanie (m² + 3m − 10)x² − 2(m−2)x − 1 = 0 ma 2 różne pierwiastki. Δ > 0 4.Dla jakich wartości parametru m nierówność mx² − x + m − 1 > 0 nie posiada rozwiązania a < 0, Δ < 0 I jedno takie ogólne: 5. Zbadaj liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m: (m + 4)x² − 4mx + 3m = 0 1^o 0 rozwiązań: a < 0 i Δ < 0 lub a > 0 i Δ < 0 2^o 1 rozwiązanie: Δ = 0 i a ≠ 0, przypadek m = −4 trzeba rozpatrzyć osobno 3^o 2 rozwiązania: Δ > 0 i a ≠ 0

think: Maciek widziałeś reklamę z mózgiem i sercem? Serce prosi mózg aby mu coś wytłumaczył, a ono ciągle, tylko odpowiada, że nie czuję tego a na końcu się pyta czy to będzie tak szybko jak rozpiąć zamek w sukience, mózg, że tak i serce na to: aaaa to czuję to, czuję....

Godzio: No to ładnie ja tu się produkuję a ten poszedł spać

think: Godzio don't worry jestem pewna w 99%, że jutro wstanie i obejrzy efekty produkcji

Maciek: W 4. nie powinno być a>0?

Godzio: popatrz na polecenie

think: no i widzisz jak wyczuł świetnie

Godzio: Mam nadzieję że do 13 wszystko będzie zrobione bo jakoś tak wstanę zobaczę, ewentualnie poprawię i lecę na rowerek

think: tylko pięć zadań, no co Ty

Godzio: EJ ale zostało jeszcze 2 zadanie bo my tak gadu gadu a zadanie czeka

Maciek: Widzę polecenie ,ale jest 0 rozwiązań dla a>0 i a<0 to dlaczego tam jest a<0 ?

Maciek: 2 nie umiem

Godzio: ale to teraz o którym mówisz 4 czy 5 ?

think: ponieważ polecenie brzmi dla jakich wartości parametru m nierówność nie ma rozwiązania

Maciek: No 4 cały czas.

think: ale to może zostawmy na jutro wtedy pogadamy o zaprzeczeniu, do tej pory mówiliśmy tylko o zadaniach gdzie miałeś pokazać, że tak jest.

Maciek: Think wiem ,że jest napisane ,że nie ma , ale wtedy Δ<0 i a<0 lub a>0 to dlaczego akurat jest a<0 a nie a>0?

Godzio: bo jeśli a > 0 to na pewno nierówność będzie miała jakieś rozwiązanie think idź lepiej spać bo naprawdę poranek będzie ciężki a my możemy spać ile wzlezie

think: dobra finito jeszcze raz i zmiatam, do zobaczenie o jakiejś normalniejszej porze

Maciek: 0 rozwiązań: a < 0 i Δ < 0 lub a > 0 i Δ < 0 ? to dlaczego tu jest a>0 i Δ<0?

Godzio:

Godzio: bo może być z ramionami albo do dołu albo do góry

Maciek: Godziu , ale jeśli a>0 i Δ<0 to wykres w tym "złym" nie powinien być nad osią OX?

Maciek: No i w obu przypadkach a<0 lub a>0 jest 0 rozwiązań?

Godzio: to co czerwone tyczy się zadania czwartego, w zakreskowanym polu nierówność ma rozwiązanie więc a > 0 nie wchodzi w grę

Maciek: Skoro a>0 i Δ<0 to wykres nie powinien być nad osią OX?

Godzio: Maciek lepiej się z tym prześpij i rano przeanalizuj, ... = 0 − rozwiązania są wtedy gdy wykres przecina oś OX ... > 0 − rozwiązania są wtedy gdy wykres chodź trochę jest ponad osią OX ... < 0 − gdy wykres jest pod osią

Maciek: I wtedy brak rozwiązań?

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/strona/79.html − zobacz sobie tutaj może lepiej zrozumiesz

Maciek: No i zobacz 1 obrazek tak jak mówię kiedy a>0 i Δ<0 to 0 rozwiazan?

Godzio: te warunki a ... 0 , Δ ... 0 zależą od znaku czy jest to ">", "<", "≤", "≥", "=" i od polecenie robiąc kilka przykładów myślę że sobie to przyswoisz

Godzio: To co napisałem ( Warunki do rozwiązania: ... ) są na pewno dobrze także z tym nie ma się co kłócić

Maciek: Okey ale odpowiedz mi na moje pytanie , Kiedy a>0 i Δ<0 to jest 0 rozwiązań?

Godzio: jeśli mx² + ... < 0 to tak

Maciek: Poddaje się na teraz Zrobię to i może przejrzę na oczy. Dobranoc

Godzio: No do następnego

Maciek: mx² − (2m − 1)x + 2m − 1 > 0 Zał. a<0⇒m<0 , Δ<0 Δ=−1²(2m−1)²−4*m*(2m−1) Δ=4m²−4m+1−8m²+4m Δ=−4m²+1 −4m²+1<0/*(−1) 4m²−1>0 (2m−1)(2m+1)>0

	1		1
m∊(		;−		)
	2		2

Narazie jedno bo nie mam czasu chwilowo , dobrze chociaż?

Maciek:

	1		1
m∊(−		;		) −>poprawka
	2		2

Godzio: Rozwiązaniem musi być część wspólna (pomijając że końcowa nierówność z m ma inne rozwiązanie)

	1
sprawdź przypadek m =		czy też będzie się zgadzać
	2

Godzio: ale nierówność ma być zawsze prawdziwa więc a > 0

TOmek: (2m−1)(2m+1)>0

	1
x1 =
	2

	1
x2 = −
	2

	1		1
m∊(− ∞,−		) v (		, ∞)
	2		2

TOmek: pomęcze sie z Mackiem

Maciek: No okey Godziu ale w warunkach było a<0 więc jak ma wkońcu być?

Godzio: ok, i pamiętajcie zawsze z równaniami z parametrem patrzcie czy jeśli dobierzemy tak parametr m

	1
żeby jedna potęga się wyzerowała to możemy otrzymać rozwiązanie, i w tym wypadku m =
	2

też jest prawidłowe − x się zeruje, wyraz wolny też i zostaje

1
	x2 > 0 − a to jest zawsze prawdziwe
2

	1
Więc odp to m ∊ <		,∞)
	2

Godzio: popatrz dokładniej bo ja tam nie widze a < 0

Maciek: W założeniach?

Godzio: tak, zobacz na pierwsze zadanie

Maciek: Źle napisałem... no to wtedy by się zgadzało ,że ramiona do góry.A w którym miejscu jest źle policzone w Δ?

Godzio: jest dobrze wszystko tylko odpowiedź była zła

Maciek: Ok zrobię resztę później

Maciek: (m−1)x² − (6 − 4m)x + 2 < 0 Zał.a<0 i Δ<0 Δ=−1²(6−4m)²−4*(m−1)*2 Δ=36−48m+16m²−8m+8 Δ=16m²−56m+44 Δ_m=3136−4*16*44 Δ_m=3136−2816 Δ_m=320 Δ_m=8√5

	56−8√5		56+8√5
m1=		m2=
	32		32

	8(7−√5)		8(7+√5)
m1=		m2=
	32		32

	7−√5		7+√5
m1=		m2=
	4		4

	7−√5		7+√5
m∊(		;		)
	4		4

Godzio: Maciek rób zadanka ja będę później to sprawdzę

Maciek: 3.(m² + 3m − 10)x² − 2(m−2)x − 1 = 0 Zał.Δ>0 Δ=−2²(m−2)²−4*(m² + 3m − 10)*(−1) Δ=4*(m²−4m+4)−(−4m²+12m−40)*(−1) Δ=4m²−16m+16−(4m²−12m+40) Δ=4m²−16m+16−4m²+12m−40 Δ=−4m−24 4m−24>0 4m>24 m>6 m∊(6,+∞)

Godzio: tylko pamiętaj rozwiązania to część wspólna, m < 1 + Δ => ....

Godzio: w 3 poknociłeś z minusem coś popraw ... ja lecę będę koło 1

Maciek: 4. mx² − x + m − 1 > 0 Zał.a<0 i Δ<0 Δ=(−1)²−4*m*(m−1) Δ=1−4m²+4m Δ=−4m²+4m+1 Δ_m=16−4*(−4)*1 Δ_m=32 √Δ_m=√32 √Δ_m=4√2

	−4−4√2		−4+4√2
m1=		m2=
	−8		−8

	−4(1+√2)		−4(1−√2)
m1=		m2=
	−8		−8

	1+√2		1−√2
m1=		m2=
	2		2

	1+√2		1−√2
m∊(		;		)
	2		2

Maciek: 3. −4m−24>0 −4m>24/:(−4) m<−6 m∊(−∞;−6) Zapomniałem minusa spisać

Maciek: 5. (m + 4)x² − 4mx + 3m = 0 Domyślam się ,że trzeba podać pierwiastki dla m=0,m<0 i m>0 1^o Dla m=0 4x²=0 /:4 x²=0 x=0 2^o Dla m<0 (m + 4)x² − 4mx + 3m < 0 Zał.a<0⇒m<0 i Δ>0 Δ=16m²−4*(m+4)*(3m) Δ=16m²−4(3m²+12) Δ=16m²−12m²−48 Δ=4m²−48 4m²−48<0/:(4) m²−12<0 (m−2√3)(m+2√3)<0 m∊(−2√3;2√3) 3^o Dla m>0 (m + 4)x² − 4mx + 3m < 0 Zał.a>0⇒m>0 i Δ>0 Δ=16m²−4*(m+4)*(3m) Δ=16m²−4(3m²+12) Δ=16m²−12m²−48 Δ=4m²−48 4m²−48>0/:(4) m²−12>0 (m−2√3)(m+2√3)>0 m∊(−∞;2√3)∪(2√3;+∞)

Maciek: Zrobiłem jak myślałem ,ale pewnie będziesz miał dużo poprawiania Godziu więc się nie przejmuj .Jeszcze mam rok to się nauczę

Godzio: 3. dalej źle jest 4. odpowiedź część wspólna z a<0 i Δ < 0 oba warunki mają być spełnione a nie tylko jeden 5 sprawdzę później ale już widzę że chyba coś nie tak rób powoli i dokładnie żeby 100 razy nie powtarzać

Maciek: Poprawię to 3 jutro,a w 4 nie wiem jak zapisać część wspólną a<0 i Δ<0.

Godzio: m< 0 i ten przedział da nam odpowiedź:

	1 − √2
m∊(		, 0)
	2