Zadania maturalne AS: Oto zadania maturalne sprzed 80 lat Zad 1. (1932 r) W półkolu wystawionym na średnicy AB = 2R = 30.72 m poprowadzono cięciwę CD równoległą do AB. Łuk CD = 2α = 72^o36' przepołowiono w punkcie E i poprowadzono cięciwy EC i ED. Znaleźć objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta CED dokoła średnicy AB. Zad. 2 Trzy liczby dodatnie tworzą postęp geometryczny.Jeżeli do drugiej liczby dodać 3,to postęp zamieni się na arytmetyczny. Jeżeli do trzeciego wyrazu nowego postępu dodać 54,to utworzy się znów postęp geometryczny. Znaleźć te liczby. Zad.3 W kole o promieniu r poprowadzono styczną MN i równoległą do niej cięciwę AB;rzut cięciwy na styczną oznaczono przez A'B'. a) Wyrazić przekątną prostokąta ABB'A' jako funkcję odległości cięciwy od stycznej. b) Zbadać jak zmienia się długość przekątnej,gdy zmienia się odległość cięciwy od stycznej. Zad. 4 Z punktu A(12,9) poprowadzono styczne do paraboli y² = 6x. Wyznaczyć równanie okręgu,przechodzącego przez punkty styczności i wierzchołek paraboli. Zad.5 Parabola y = x² − 5x + m jest styczna do osi x−ów i do prostej y = 2x − n.Wyznaczyć punkt styczności paraboli z prostą.

xxx: z.5 Skoro prosta o współczynniku kierunkowym a=2 jest styczna do paraboli, to znaczy, że pochodna paraboli dla współrzędnej x musi być równa 2.Obliczamy pochodną funkcji kwadratowej

	7
y'=2x−5 i przyrównujemy do 2. 2=2x−5 x=		, skoro parabola jest styczna do osi x−ów, to ma
	2

	25
dokładnie jedno miejsce zerowe, zatem Δ=0 25−4m=0 obliczamy m=		, zatem parabola ma
	4

	25		7
równanie y=x2−5x+		, za x podstawiamy		i otrzymujemy
	4		2

	49		35		25		37		35
		−		+		=		−		=1, zatem punkt styczności paraboli z prostą ma
	4		2		4		2		2

	7
współrzędne A=(		,1)
	2

think: zad2. a, b, c ← geometryczny ⇒ b² = ac a, b + 3, c ← arytmetyczny ⇒ 2(b + 3) = a + c a, b + 3, c + 54 ← geometryczny ⇒ (b + 3)² = a(c + 54) ⇒ ac = (b + 3)² − 54a b² = (b + 3)² − 54a b = 9a − 1,5 2(9a − 1,5 + 3) = a + c ⇒ c = 17a + 3 (9a − 1,5)² = a(17a + 3)

	9
64a2 − 30a +		= 0
	4

Δ = 900 − 576 = 324 = 4*81 √Δ = 2*9 = 18

	30 + 18		3		15		75
a1 =		=		⇒ b1 =		i c1 =
	128		8		8		8

	30 − 18		3		27
a2 =		=		⇒ b2 =		− 1,5 < 0 odpada, bo a, b, c liczby
	128		32		32

dodatnie.

	3		15		75
szukane liczby to :		,		,		.
	8		8		8

think: to pierwsze to mi kosmiczne wychodzi, tym bardziej, że z całką, bo zdaje się w ten sposób należy obliczyć objętość powstałej bryły. Także sobie daruje, pisanie do niego odpowiedzi, może ktoś inny znajdzie na to jakiś zgrabny sposób...

Bogdan: Dzień dobry Krótki komentarz do zadań. 1. Dzisiaj to zadanie mogłoby wystąpić na poziomie rozszerzonym, chociaż dane liczbowe byłyby zapewne bardziej "gładkie", np. |AB| = 30, 2α = 120^o. 2. Standard z obecnego poziomu podstawowego. 3.Najciekawsze zadanie, szczególnie punkt b sprawiłby naszym maturzystom kłopot. 4. Nie omawia się obecnie parabol y² = ax, chociaż zadanie dość łatwe. 5. Zadanie z obecnego poziomu rozszerzonego (ze względu na parametry), dość łatwe. Skąd Asie wygrzebałeś ten zestaw? Sformułowanie: "W półkolu wystawionym na średnicy" − cudeńko językowe. Pozdrawiam

think: z.3 |A'A| = y ← to y opisuje nam odległość cięciwy od stycznej |AB| = |A'B'| = 2x a)y ∊ (0, 2r) d − przekątna prostokąta AA'B'B d² = y² + (2x)² x² + (r − y)² = r² ⇒ x² = 2ry − y² d² = y² +4(2ry − y²) = −3y² + 8ry d(y) = √8ry − 3y²

	8r − 6y		4
b) d'(y) = (√8ry − 3y2)' =		= 0 ⇔ 8r − 6y = 0 ⇒ y =		r
	2√8ry − 3y2		3

	4r
Dla y ∊ (0,		) wraz ze wzrostem y, d rośnie.
	3

	4
Dla y =		r dmax.
	3

	4r
Dla y ∊ (		, 2r) wraz ze wzrostem y, d maleje.
	3

AS: Zbiór zadań maturalnych Krawczyka wydany powielaczem ok. roku 1946.

AS: Zad.5 y = x² − 5*x + m Parabola styczna do osi Ox,więc wierzchołek W(xw,0)

	−b
gdzie xw =
	2a

	5
xw =
	2

Wstawiając do równania paraboli mamy

	5		5		25
0 = (		)2 − 5*		+ m ⇒ m =
	2		2		4

	25
Równanie paraboli: y = x2 − 5*x +
	4

Prosta ma być styczna do praboli

	25
x2 − 5*x +		= 2*x − n |*4
	4

4*x² − 20*x + 25 = 8*x − 4*n 4*x² − 28*x + 25 + 4*n = 0 Warunek styczności: Δ = 0 Δ = (−28)² − 16*(25 + 4*n) = 0 ⇒ n = 6 Równanie prostej: y = 2*x − 6 Podstawiając n do równania i rozwiązując znajdziemy

	7
punkt styczności S(		,1)]
	2

Radosław 2: Zad 3 Poszukiwana funkcja: p=√8dr−3d² p−przekątna d−odległość cięciwy od stycznej Funkcja ta rośnie dla d∊(0;⁴₃r> Czuwaj Asie i podaj czy to dobra odpowiedź

AS:

	1
Zgadza się.		matury zdałeś,bo na maturze dawano trzy
	3

zadania do rozwiązania.

think: coś mi się zdaje, że z tego zestawu najrzadziej rozwiązywano zadanie 1, najczęściej rozwiązywano 2 i 5 a później następował podział na to co komu leżało bardziej czy zadanie 3 czy 4... no w każdym razie gdybym ja dostała taki zestaw na maturze, to pierwsze bym sobie odpuściła chociażby ze względu na te okrągłe liczby

AS: Odpowiedzi Zad 2. 3/8 , 15/8 , 75/8 Zad 3. y² = −3*x² + 8*R*x , ymax przy x = 4*R/3 Zad 4. (x − 24)² + (y + 18)² = 200 Zad. 5 S(7/2,1)

think: AS a co z odpowiedzią do 1?

think: jestem ciekawa czy ten moloch którego liczyłam był dobrze.

AS: Moje obliczenia do zad. 1 − ale jeszcze raz sprawdzę

	2*π
V =		*R3*cosα(cos2α + sinαcosα − 2*sin2α)
	3

Bogdan: Uwaga do zadania 1. Wyprowadzona zależność na V musi być w postaci logarytmicznej, takie wymóg wówczas obowiązywał.

AS: Każda reguła na swoje wyjątki − tu nie da się sprowadzić do postaci logarytmicznej.

think: hmm ja oczywiście pierwotnie powstawiałam tam wszystkie liczby, oczywiście głupio zrobiłam, teraz to spokojnie przeliczyłam operując symbolami i wyszło mi ciut inaczej.

	2πR3
V =		sinα(cosα − cos2α)
	3

think: Bogdan ja nie wiem jaka to postać logarytmiczna, podaj przykład proszę.

Bogdan: Weźmy wzór wyprowadzony przez Asa.

	2π
V =		* r3 * cosα * (cos2α + sinαcosα − 2*sin2α)
	3

Ten wzór zawiera wyrażenie: cos²α + sinαcosα − 2*sin²α, którego nie można zostawić w postaci sumy, trzeba przekształcić do postaci iloczynowej, którą nazywamy postacią logarytmiczną, bo po wstawieniu wartości liczbowych łatwo wyznacza się wynik stosując logarytmy. Nie ma wyjątków, każde wyrażenie można doprowadzić do postaci logarytmicznej, to była zresztą największa bolączka ówczesnych uczniów i studentów. Pokażę to na omawianym przykładzie. cos²α + sinαcosα − 2*sin²α = −cos²α(2tg²α − tgα − 1) =

	1
= −cos2α * 2(tgα +		) (tgα − 1) =
	2

= −2cos²α * (tgα + tg26^o34') (tgα − tg45^o) =

	sin(α + 26o34')		sin(α − 45o)
= −2cos2α *		*		=
	cosα cos26o34'		cosα cos45o

	−2sin(α + 26o34') sin(α − 45o)		√2
=		*		=
	√2   cos245o *   2		√2

	−2√2 sin(α + 26o34') sin(α − 45o)
=
	cos245o

To jest wyrażenie w postaci logarytmicznej. Dodam, że szczytem szpanu była wtedy umiejętność wykonywania skomplikowanych obliczeń rachunkowych przy pomocy suwaka logarytmicznego. Podkreślam, że obliczenia były możliwe tylko po doprowadzeniu wyrażenia do postaci logarytmicznej.

Bogdan: Zgubiłem w mianowniku cos26^o34'

Bogdan: Poprawiam dwie ostatnie linijki:

	−2sin(α + 26o34') sin(α − 45o)		√2
... =		*		=
	√2   cos26o34' *   2		√2

	−2√2 sin(α + 26o34') sin(α − 45o)
=
	cos26o34'

AS: Górą Bogdan! Nie pomyślałem o rozkładzie na iloczyn. Wszelakiej pomyślności.

Bogdan:

think: dziękuję, teraz już będę wiedziała jak to wyglądało. Pełen podziw dla uczniów tamtych czasów, troszkę żałuję, że już z innej 'epoki' matematyki się wywodzę.

think: w moim byłoby to jeszcze prostsze, z różnicy cosinusów..., tylko nie wiem czy moje jest poprawnie...

Włodek: cos26o34 co to jest MATEMATYCY;>?

przerażony krejzol: chyba bym nie zdał ale w 2012 mam 100%

czekoladowe sny: to zad 2 było w tym roku na rozsz tylko z innymi liczbami

Mila: I wszyscy znali grekę, łacinę i nowożytny język! Moi wujowie recytowali mi dzieła starożytnych poetów, a także fragmenty pamiętników Cezara.

KacpeR: przerazony krejzol, bys nie zdal ale w tym roku masz 100%? smieszne .. skoro masz 100% to bys zrobil na spokojnie 3 zadania stad

Nienor: A ile trzeba było mieć żeby zdać?

antoni: