Matura z 1960 r. Bogdan: Przedstawiam zestaw maturalny sprzed pół wieku, z 1960 r. z Wrocławia. Zestaw zawiera 3 zadania, nie było wtedy kalkulatorów, można było skorzystać z tablic logarytmicznych i z tablic funkcji trygonometrycznych. Wzory trzeba było znać. Zachowuję oryginalne sformułowania, określenie "postęp" oznacza ciąg. 1. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi a. Dwa wierzchołki górnej podstawy połączono ze środkami przeciwległych krawędzi dolnej podstawy. Wyznaczyć objętość tego graniastosłupa, wiedząc, że kąt miedzy otrzymanymi odcinkami wynosi α. Wykonać obliczenia dla a = 14,09 dm, α = 26^o48'. 2. Znaleźć cztery liczby, z których trzy pierwsze tworzą postęp geometryczny, trzy ostatnie zaś tworzą postęp arytmetyczny. Suma liczb pierwszej i czwartej jest 14, suma drugiej i trzeciej równa się 12. 3. Wykreślić równoległobok wiedząc, że jego kąt ostry wynosi α, a odległości punktu przecięcia się przekątnych tego równoległoboku od dwóch różnych boków równe są odpowiednio a i b. Wyznaczyć pole tego równoległoboku.

Godzio: 2. a,b,c,d a,b,c −− ciąg geometryczny: b² = a * c b,c,d −− ciąg arytmetyczny: 2c = b + d a + d = 14 b + c = 12 + ⇒ c = 12 − b −−−−−−−−−−−−−− b + d = 26 − a − c 2c = 26 − a − c ⇒ a = 26 − 3c ⇒ a = 26 − 36 + 3b ⇒ a = −10 + 3b b² = (3b − 10)(12 − b) b² = 36b − 3b² − 120 + 10b 4b² − 46b + 120 = 0 2b² − 23b + 60 = 0 Δ = 529 − 8 * 60 = 529 − 480 = 49 √Δ = 7

	23 + 7		15
b1 =		=		= 7,5
	4		2

	23 − 7		16
b2 =		=		= 4
	4		4

Odp: 1^o b = 7,5 ⇒ c = 4,5, a = 12,5, d = 1,5 2^o b = 4 ⇒ c = 8, a = 2, d = 12

Jaga:

Godzio: 1.

1
	a2 = 2c2 − 2c2cosα
4

a² = 2b² − 2b²cosα

1   a2 8
	= c2
1 − cosα

1   a2 2
	= b2
1 − cosα

	a
c =
	2√2 − 2cosα

	a
b =
	√2 − 2cosα

	a√3
h =
	2

H² + h² = (b + c)²

	3		1   a2 2		1   a2 2		1   a2 8
H2 +		a2 =		+		+
	4		1 − cosα		1 − cosα		1 − cosα

	9   a2 8		3
H2 =		−		a2
	1 − cosα		4

	4,5a2 − 3a2(1 − cosα)
H2 =
	4 − 4cosα

	a2(1,5 + 3cosα)
H2 =
	4 − 4cosα

H = U{a√1,5 + 3cosα}{2√1 − cosα

	a2√3		a√1,5 + 3cosα
V =		*
	4		2√1 − cosα

	3a3√0,5 + cosα
V =
	8√1 − cosα

a = 14,09 dm, α = 26^o48' cos(26^o48') ≈ 0,659

	3(14,09)3√0,5 + 0,659		8391,782787 * √0,3295
V =		=		=
	8√1 − 0,659		8√0,341

= 1031,133192 ≈ 1031,13 dm³

Godzio: heh, do tamtego to tak nie ma co brawa bić bo nie było zbyt trudne, jestem ciekaw czy to mam dobrze

Jaga: 2) sposób: a,b,c,d −−− szukane liczby z własności postępu arytm. c= b+r d= b+2r z układu równań a+d=14 i b+c= 12 b = 6−^r₂ a= 8− ³₂r c= 6+^r₂ d= 6+³₂r z własności postępu geom.: b²=a*c otrzymamy: r²−r−12=0 to r= 4 v r= −3 szukane liczby: 1^o : 2, 4,8,12 2^o : 12,5 ; 7,5; 4,5; 1,5

Bogdan: Mam nadzieję Godzio, że nie używałeś kalkulatora. Zadanie nr 2 jest dobrze rozwiązane, zadanie nr 1 − nie.

Godzio: Dobra to w takim razie jeszcze pomyślę a kalkulator to tylko do 2 w obliczaniu V po podstawieniu ale skoro i tak źle to kicha

Godzio: Bogdan a możesz zdradzić czy rysunek dobrze zrobiłem ?

Bogdan: Do takich obliczeń nie używano kalkulatora, bo go wtedy jeszcze nie było, wykorzystywano logarytmy. Nawet funkcjonowało wtedy sformułowanie "doprowadzić wyrażenie, do postaci logarytmicznej", prawda Eto, Asie, Basiu i wszyscy, którzy pamiętają tamte czasy?

Bogdan: Rysunek jest dobrze, pokaż jednak inne h (h to wysokość trójkąta równobocznego będącego podstawą graniastosłupa).

Bogdan: Dodam, że wtedy matematyka była obowiązkowa, nie było poziomu podstawowego i rozszerzonego, wszystkie wzory trzeba było znać, arkusze nie były drukowane, zadania były zapisane kredą na tablicy. Proszę zauważyć, jak ma się poziom wymagań sprzed pół wieku do tego, który obowiązuje obecnie, a z którym i tak wielu sobie nie radzi. Jest więc postęp, czy nie?

Godzio: No wiadomo że nie, teraz to coraz mniejszy poziom, a szkoda ...

Bogdan: Obowiązywały wtedy i jeszcze przez wiele następnych lat, egzaminy do uczelni wyższych. Poziom zadań egzaminacyjnych był wyższy od poziomu zadań maturalnych. Pokażę w ciągu dnia w oddzielnym poście kilka takich zadań, teraz czas na sen. Dobranoc

Godzio: No to w takim razie czekam, w tym zadaniu nie mam pojęcia w czym rzecz , widocznie nie dostrzegam błędu no ale dobra jeszcze pomyślę. Dobranoc

Eta: Witam Bogdanie Omg .... matura 1960 ? ( byłam wtedy jeszcze w podstawówce Za kilka lat była moja matura, pamiętam te wszystkie zadania ze stereometrii kończące się : " sprowadź do postaci logarytmicznej" i wykonaj obliczenia dla ....... Pamiętam do dzisiaj niektóre mantysy logarytmów: np: 0, 3010 ; 0, 4771 To były czasy...... nie to co teraz,gdzie wszystko gotowe na tacy net, Wikipedia, matematyka . pisz A mimo to efekty są takie jak widać często na naszym forum. Wzory znaliśmy na zawołanie ( i wyprowadzenia tych wzorów też, gdy zachodziła taka potrzeba) jakoś pomieściły się w naszych głowach i zostały zakodowane do dzisiaj i nie uważam,że "zasmieciły" mi mózg Tak Godzio , tak to było ..... Pozdrawiam

Eta: Miłych snów, dobranoc

Bogdan: Szkic rozwiązania zadania 1.

	1
Objętość V =		a2*H, H = √ (b + c)2 − (h/2)2
	4

h		1		a√3		a√3		h		3
	=		*		=		, (		)2 =		a2
2		2		2		4		2		16

b		α		a		α
	= ctg		⇒ b =		ctg
a     2		2		2		2

c		α		a		α
	= ctg		⇒ b =		ctg
a     4		2		4		2

	3		α		9		α
b + c =		a ctg		, (b + c)2 =		a2 ctg2		,
	4		2		16		2

	1
H = √ (b + c)2 − (h/2)2 =		a √3 √ 3ctg2(α/2) − 1
	4

	1		3		3
V =		a2*H =		a3 √ 3ctg2(α/2) − 1 =		a3 √ w
	4		16		16

(Komentarz: wzór na objętość V w takiej postaci nie zostałby uznany, należy doprowadzić wyrażenie do postaci logarytmicznej, inaczej mówiąc − do postaci iloczynowej)

	α		√3		α		√3
w = 3ctg2(α/2) − 1 = 3 (ctg		−		) (ctg		+		) =
	2		3		2		3

	α   sin(60o − )   2		α   sin(60o + )   2
= 3 *		*		=
	α   sin sin60o   2		α   sin sin60o   2

	1   1   sin(60o − ) sin(60o + )   2   2
= 3 *		=
	α   3   sin2 *   2   4

	1   1   sin(60o − ) sin(60o + )   2   2
= 4 *
	α   sin2   2

	2 √ sin(60o − (1/2) ) * sin(60o + (1/2) )
√ w =
	α   sin   2

	3
V =		a3 √ w =
	16

	3a3 √ sin(60o − (1/2) ) * sin(60o + (1/2) )
=
	α   8sin   2

Po wstawieniu danych liczbowych otrzymujemy V = 3778 dm³ z dokładnością do 1 dm³.

Godzio: Bogdan nie wiem czemu ale nie widzę nic złego w moim rozwiązaniu, z tego co przeanalizowałem w Twoim to:

	cos(α − β) − cos(α + β)
Wykorzystam wzór: sinα*sinβ =
	2

	α   α   sin(60 − )*sin(60 + )   2   2
w = ... = 3 *		=
	α   3   sin2 *   2   4

	cos(60 − ( (α)/2) − 60 − ( (α)/2)) − cos(60 − ( (α)/2) + 60 + ( (α)/2))   2
4 *
	α   sin2   2

=

	cos(−α) − cos120		1   1   cosα + 2   4
4 *		= 4 *		=
	α   sin2   2		α   sin2   2

	1		α
4 *		* U{cosα + 0,5}{sin2
	2		2

Czyli ostatecznie:

	3		3		√0,5 + cosα
V =		a3 * √w =		a3 *
	16		8		α   √2sin   2

Teraz moje rozwiązanie:

	3a3 √0,5 + cosα
V =
	8√1 − cosα

	α		α		α		α
1 − cosα = 1 − (cos2		− U{sin2		) = 1 − (1 − 2sin2		) = 2 sin2
	2		2		2		2

	3		√0,5 + cosα
V =		a3*
	8		α   √2*sin   2

Czyli doszedłem do tego że Twoje i moje rozwiązania są identyczne tyle że przedstawione w innej formie, co o tym sądzisz ?

Godzio: Zapisze bardziej czytelniej:

	cos(60 − α/2 − (60 + α/2) ) − cos(60 − α/2 + 60 + α/2)   2
w = ... = 4 *
	α   sin2   2

=

	cos(−α) − cos(120)   2		1   1   cosα + 2   4
= 4 *		= 4 *		=
	α   sin2   2		α   sin2   2

	1   1   (cosα + ) 2   2
= 4 *
	α   sin2   2

	3		√cosα + 0,5
V =		*
	8a3		α   √2 * sin   2

Bogdan: Godzio − Twoj wzór na V nie byłby uznany, bo nie jest w postaci iloczynowej, nie może być wyrażenie w postaci cosα + 0,5. W pierwszym Twoim rozwiązaniu uzyskałeś wynik V = 1031,13, nie był to prawidłowy wynik.

Godzio: jeszcze raz sprawdziłem dokładnie na kalkulatorze i wyszło jednak 3777 wtedy chyba coś źle napisałem i może stąd taki wynik, a co do rozwiązania to wychodzi na to że było poprawne rozumowanie tylko końcowy zapis objętości powinienem zapisać w postaci iloczynowej tzn w tym wypadku rozpisać dokładniej cosα + 0,5 ?

	α + 60		α − 60
cosα + cos60 = 2 * cos		* cos
	2		2

	3		√cosα + 602 * cosα − 602
Odp: V =		a3 *
	8		α   sin   2

Czy taka odpowiedź byłaby już prawidłowa ?

Szprot: Jak by takie były zadania na Maturze wtedy to nikt by ich nie zdawał

Godzio: Jak na maturze byłyby takie zadania to maturzyści musieliby być do takowej matury odpowiednio przygotowani, kiedyś zdawali to teraz też by musieli

Bogdan: Wtedy były takie właśnie zadania i przystępowali do matury wszyscy, nie wszyscy jednak ją zdawali, można było przystąpić do poprawki za rok.

	α		1
W ostatnim moim wyrażeniu na V zamiast		napisałem		, podaję więc jeszcze raz:
	2		2

	3a3 √ sin(60o − (α/2) ) sin(60o + (α/2) )
V =
	α   8sin   2