Okrąg i kwadrat Handi: Drut o długości 18 cm rozcięto na 2 części. Z jednej z nich utworzono kwadrat, a z drugiej okrąg. Jaka powinna być długość każdej z części, aby suma pól kwadratu i koła była największa? Zrobiłam to sama do tego momentu: 4a+2πr=18

	18−2πr		9−πr
a=		=
	4		2

	9−πr		81−18πr+πr2		4πr2		81−18πr+5πr2
P=a2+πr2=(		)2+πr2=		+		=
	2		4		4		4

Teraz wiem że mam wyznaczyć pochodną, ale nie wiem co zrobić z tym π i r...

robinka : mały błąd

	81−18πr+π2r2		4πr2		81−18πr+(π2−4π)r2
P=		+		=		policz pochodną po r
	4		4		4

i porównaj do zera P'=0

robinka : policzyłaś ?

Handi: g(x)=81−18πr+(π²−4π)r²=81−18πr+π²r²−4πr² h(x)=4 g'(x)=−18π+2π²r−8πr h'(x)=0

	−72π+8π2r−32πr
f'(x)=
	16

8π²r−32πr−72π=8π(πr−4r−9) Nie wiem, chyba dalej coś źle robię, bo nie da się tego przyrównać do zera.

robinka :

−18π		2r(π2−4π)
	+		=0 /*4
4		4

−18π+2r(π²−4π)=0 2r(π²−4π)=18π 2rπ−4=18 2rπ=22

	22
r=
	2π

robinka :

	11
r=
	π

4 − jest liczbą stałą więc nie jest to funkcja h(x)

Handi:

	9−πr
Hmmm... Podstawiam r do wzoru a=
	2

	9−11ππ		9−11
a=		=		=−1
	2		2

I wychodzi bok ujemny, więc chyba coś jest nie tak..

robinka : sprawdzę czy nie pomyliłam sie w liczeniu

Bogdan: Proszę spróbować rozwiązać to zadanie nie obliczając pochodnych? To jest przecież zadanie z obowiązującego materiału szkoły średniej.

Bogdan: Znak zapytania chochlik wkleił, jest niepotrzebny

robinka : 2rπ−8r=18 rπ−4r=9 r(π−4)=9

	9		−9
r=		=
	π−4		4−π

	9   9+ *π   4−π
a=
	2

robinka : ja gdy chodziłam do szkoły średniej, miałam pochodne

robinka : wystarczy obliczyć Bogdanie współrzędne wierzchołka?

robinka : ok ja zmykam, dobranoc owocnego liczenia życzę ...

Handi:

	36−9π+9π		18
a=		=
	2(4−π)		4−π

2πr=22

	324
a2=
	16−8π+π2

Nie wiem, usiądę do tego jutro rano, bo mi jakieś kompletne głupoty wychodzą... Drut ma 18 cm a jedna część 22. Swoją drogą to zadanie jest z książki do 3 liceum, ale z zakresu rozszerzonego i z działu o pochodnych. Właśnie przerabiam pochodne i próbuję to zadanie zrobić tak.

Bogdan: x + y = 18 ⇒ y = 18 − x

	x		x2
Kwadrat: Obwód 4a = x ⇒ a =		, pole kwadratu P1 =
	4		16

	y		y2		(18 − x)2
Koło: Obwód 2πr = y ⇒ r =		, pole kola P2 =		=
	2π		4π		4π

S = P₁ + P₂ → max

	x2		(18 − x)2
S =		+
	16		4π

	1		1		9		81
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową S(x) = (		+		)x2 −		x +
	16		4π		π		π

posiadającą minimum, a nie maksimum. Myślę, że w zadaniu chodzi o minimum sumy pól kwadratu i koła, a nie o maksimum. Wykresem funkcji S(x) jest parabola posiadająca minimum

	9     π
dla x =		≈ 10,
	1   1   2*( + )   16   4π

y = 18 − x ≈ 8

Handi: Dziękuję za rozwiązanie Wszystko mi wyszło