Zadanko Godzio: Dla Kejt Udowodnić prawdziwość nierówności :

	x		x		x2
1 +		≥ √1 + x ≥ 1 +		−
	2		2		2

to tak na szybko bo muszę uciekać będę za jakieś 30 min

Godzio: Jeszcze takie przyjemne zadanko: Statek z Wrocławia do Szczecina płynie 3 dni, a ze Szczecina do Wrocławia 5 dni. Jak długo z Wrocławia do Szczecina płynie woda ?

Godzio: Myślałem że jak wrócę to już tutaj gotowca będę mieć

Eta: 15 dni

Godzio: Tylko trochę szkoda że Kejt sobie poszła

Eta: Nie poszła, widzę,że jest

Godzio: to właśnie zniknęła

Kejt: jestem, jestem. Prawdę mówiąc nie wiem dokładnie na czym to udowadnianie polega..

Godzio:

	x
1 +		≥ √1 + x
	2

	x		x2
√1 + x ≥ 1 +		−
	2		2

Musisz udowodnić że te nierówności zachodzą dla każdego x

Kejt: mhm.. kombinuję, kombinuję..

b.: to może przykład: udowodnić, że dla x∊R zachodzi x²≥0. dowód: Rozważamy 2 przypadki: 1. gdy x≥0, to x²=x*x ≥ 0 (iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest nieujemny), zachodzi więc teza. 2. gdy x<0, to x²=x*x>0 (iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni), zachodzi więc teza. Koniec dowodu te zadania są chyba dość podobne, trzeba (zgaduję) sprytnie skorzystać z tego, że x²≥0 dla x∊R

Godzio: co do pierwszej nierówności może takie coś Ci pomoże:

2 + x
	≥ √1 + x
2

1 + (1 + x)
	≥ √1 * (1 + x)
2

bajka: jeżeli: a≥b i b≥c to: a −b≥0 i b−c ≥0 −−−−−−−−−−−−− a −c ≥0 zatem:

	x		x		x2
1+		− ( 1 +		−		) ≥0
	2		2		2

teraz dokończ Kejt

Kejt:

	x		x		x2
1+		−(1+		−		)≥0
	2		2		2

	x		x		x2
1+		−1−		+		≥0
	2		2		2

x2
	≥0
2

x²≥0 x≥0

bajka: x²≥0 => x€R c.n.u bez tego zapisu x≥0 −−−−−bo to błędny zapis

Godzio: Kejt spróbuj teraz takie coś udowodnić, a później wróć do zadania może to coś da

a + b
	≥ √ab
2

Godzio: Pisać rozwiązanie do 1 czy próbujesz jeszcze ?

Kejt: przy 1 skapitulowałam.. robię to ze statkiem teraz.

Kejt: Pisać całe rozwiązanie czy samą odpowiedź? bo już w sumie Eta podała..

Godzio: A to od Ciebie zależy pewnie dobrze masz ale jak chcesz dać do sprawdzenia to nic nie stoi na przeszkodzie

Kejt: Choć raz rozwiązałam w pełni coś co tu podałeś to muszę się pochwalić t − czas przepływu wody V_w − prędkość wody V_s − prędkość statku V_s + V_w − prędkość statku z prądem V_s − V_w − prędkość pod prąd 3(V_s+V_w) − z W do S 5(V_s − V_w) − z S do W 3(V_s+V_w)=5(V_s − V_w) 3V_s+3V_w=5V_s−5V_w 2V_s=8V_w V_s=4V_w t=(V_s+V_w)*3=(4V_w+V_w)*3=5V_w*3=15 dni

Godzio: To teraz napisze tak jak szybciej można:

	s
vs + vw =
	3

	s
vs − vw =		−
	5

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	5s		3s
2vw =		−
	15		15

	2s
2vw =		/: 2
	15

	s
vw =
	15

tak szybciej ... tak myśle

Kejt: bardzo możliwe.. ale ważne, ze policzyłam teraz się muszę tym ponapawać przez chwilę.

Eta: Jasne,że szybciej

Kejt: no i musieli zepsuć..

Godzio: Nie no liczy się to że zrobiłaś Ja zazwyczaj jadę dookoła świata

Eta: co to jest v_w ? Chyba miało być v_rzeki lub v_Odry

Godzio:

	x
1 +		≥ √x + 1 −−−− to wynika z faktu że średnia arytmetyczna ≥ średniej geometrycznej
	2

po rozpisaniu to lepiej widać, warto to zapamiętać

1 + (1 +x)
	≥ √ 1 * (x + 1) x ≥ −1
2

co do 2

	1		1
√x + 1 ≥ −		x2 +		x + 1
	2		2

	1
√x + 1 ≥		(−x2 + x + 2) /2 zał. x ≥ −1 − do tego rozpatrujemy tylko przedział
	2

x∊<−1,1> bo tylko tam funkcja kwadratowa jest rosnąca i powyżej OX

	1
x + 1 ≥		(x4 + x2 + 4 − 2x3 − 4x2 + 4x)
	4

4x + 4 ≥ x⁴ − 2x³ − 3x² + 4x + 4 0 ≥ x⁴ − x² − 2x³ − 2x² 0 ≥ x²(x − 1)(x+1) − 2x²(x + 1) 0 ≥ x²(x+1)(x − 1 − 2) 0 ≥ x²(x + 1)(x − 3) dla każdego x z przedziału funkcja jest mniejsza lub równa od zera x² > 0, x + 1 ≥ 0 , x − 3 < 0 + * + * − = − wydaje mi się że takie uzasadnienie wystarczy

Godzio: v_w = v_wody tak przyjęła Kejt to już tak zostawiłem

Eta: Hehe...... Godzio miłośnik:: " śr. arytm. ≥ śr. geom" ( skąd ja to znam?)

Eta: ok myślałam ,że V_Wrocka

Eta: uwaga ...... "ulubieniec" się pojawił

Godzio: Eta już mam to zakodowane