Zadanko Godzio: No to teraz ja poproszę o pomoc jeśli się da 1. Z kuli o promieniu R wycięto ósmą część trzema wzajemnie prostopadłymi płaszczyznami przez środek kuli. W tak otrzymaną bryłę wpisano inną kulę. Obliczyć stosunek pola powierzchni tej kuli do pola powierzchni bryły. 2. Podstawą czworościanu ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku a, ściana boczna BCD jest trójkątem równoramiennym prostopadłym do płaszczyzny podstawy, a kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku A jest równy α. Obliczyć pole powierzchni kuli opisanej na tym czworościanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, a krawędź podstawy ma długość a. Obliczyć promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Sporządzić odpowiednie rysunki. 4. Naczynie w kształcie półkuli o promieniu R ma trzy nóżki w kształcie kulek o promieniu r, 4r < R przymocowanych do naczynia w ten sposób, że ich środki tworzą trójkąt równoboczny, a naczynie postawione na płaskiej powierzchni dotyka ją w jednym punkcie. Obliczyć wzajemną odległość punktów przymocowania kulek. Sporządzić odpowiednie rysunki.

think: jak Ty sobie z tymi zadaniami nie radzisz to ja nie mam co się za nie brać

Godzio: spróbować nie zaszkodzi a ja się już z nimi tyle namęczyłem że nie wiem

Godzio: Ja nie wiem ta stronka daje mi natchnienie właśnie znalazłem rozwiązanie dla 1 rysując sobie tutaj rysunek

think: a znasz odpowiedzi? bo wydaje mi się, że to drugie potrafię rozwiązać.

Godzio:

	π		27 − 32cos2α		π		π
2. S =		a2 *		α ∊ (		,		)
	16		cos2α(3 − 4cos2α)		6		2

think:

	9πa2
pole mi wyszło P =
	cos2α

think: no no jednak nie...

think: przeniosłam takie dość wygodne założenie, że skoro w trójkącie prostokątnym środek okręgu leży w połowie przeciwprostokątnej, to tu może być tak samo...

Godzio: pogmatwane te zadania

Godzio: Ja narazie zmykam będę później

think: no ja też zmykam, trzeba trochę się polenić przed kolejnymi 6 dniami codziennych trudów.

Godzio: Podbijam

think: Godzio patrz... jak to możliwe, takie chwytliwe zadanka i nikt się nie pokusił aby je rozwiązać...

Godzio: Chyba wszyscy chcą żebym się w nieskończoność męczył , a może sposób "na Kamila" − milion postów na minute ?

Józio: Wszystko dlatego,że zapomniałeś wstawić:

think: Eto jesteś nieziemska

think: nom zastanawiałam się już czy nie wypróbować tej metody aby ściągnąć pomoc do sprzątania domu, ewentualnie kogoś kto pomoże przy ogrodzie

Godzio: RATUNKU !

Bogdan: Dzień dobry. Zadanie 2.

	1		1
|AB| = |AC| =|BC| = a, |BE| = |EC| =		a, |AE| =		a√3, |∡CAD| = |∡BAD| = α
	2		2

	1		1		2
|AS| = |FS| =		a√3, |ES| = |EF| =		a√3 |AF| = d =		a√3
	3		6		3

Przyjmujemy ponadto oznaczenia:

	2
|AD| = c, |AF| = d =		a√3, |DF| = e, |DE| = w, |∡EAD| = β
	3

R − długość promienia kuli opisanej na czworościanie ABCD Układ równań:

	3
1) w2 + |AE|2 = c2 ⇒ w2 = c2 −		a2
	4

	3		1		1
2) w2 + |EC|2 = b2 ⇒ c2 −		a2 +		a2 = b2 ⇒ b2 = c2 −		a2
	4		4		2

3) (z tw. cosinusów w trójkącie ACD) b² = a² + c² − 2accosα ⇒

	1		3a
⇒ c2 −		a2 = a2 + c2 − 2accosα ⇒ c =		i w2 = ....
	2		4cosα

	1
e2 = w2 + |EF|2 ⇒ e2 = w2 +		a2
	12

	w
sinβ =		,
	c

Długość R można wyznaczyć korzystając z twierdzenia sinusów dla trójkąta ADF:

	e		ce		c2e2
2R =		=		⇒ 4R2 =
	sinβ		w		w2

Pole powierzchni kuli P = 4R² Dalej Godzio spróbuj sam. PS. Podaj Twój wynik zadania 1, a jeszcze lepiej byłoby, gdybyś podał rozwiązanie tego zadania, bo warto je pokazać.

Godzio: Z góry przepraszam za zagmatwane rysunki

	R√2 * √3		R√6
h =		=
	2		2

1		R√6
	h =
3		6

2		R√6
	h =
3		3

R2		h1* R√2
	=
2		2

	√2R
h1 =
	2

	2
H2 + (		h)2 = R2
	3

	R√3
H =
	3

	r		1   h 3
sinα =		=
	R − r		h1

r		R√6   6
	=
R − r		√2R   2

r		R√6		2
	=		*
R − r		6		√2R

r		√3
	=
R − r		3

3r = √3R − √3r r(3 + √3) = √3R

	√3R		R(3√3 − 3)		√3 − 1
r =		=		=		*R
	3 + √3		6		2

	√3 − 1
r =		*R
	2

	4 − 2√3
PK = 4πr2 = 4π*R2 *		= πR2(4 − 2√3)
	4

	1		1		2		3		5
PB =		* 4π*R2 + 3 *		* πR2 =		πR2 +		πR2 =		πR2
	8		4		4		4		4

PK		πR2(4 − 2√3)		8
	=		=		(2 − √3)
PB		5   πR2 4		5

Godzio: I bardzo dziękuję za to zadanie Bogdanie

Bogdan: Zadanie 1. Kula o promieniu długości R została rozcięta na 8 jednakowych brył. W jedną z tych brył wpisano kulę o promieniu r. |OA| = R = r√2 + r ⇒ R = r(√2 + 1) ⇒ R² = r²(3 + 2√2) P_K = 4πr²,

	1		1		5		5
PB =		*4πR2 + 3*		πR2 =		πR2 =		πr2(3 + 2√2)
	8		4		4		4

PK		4πr2		16		16(3 − 2√2)
	=		=		=
PB		5   πr2(3 + 2√2)   4		5(3 + 2√2)		5

Godzio − co myślisz o takim rozwiązaniu zadania 1?

Godzio: ale coś chyba się nie zgadza bo wynik jest:

8
	(2− √3)
5

Bogdan: Nie twierdzę, że rozwiązanie, które przedstawiłem, jest prawidłowe. Przedstawiłem je i zapraszam Ciebie do jego podważenia, ale nie przez argumentację: "coś chyba się nie zgadza" i nie sugeruj się podręcznikowymi odpowiedziami.

Godzio: Naczy myślę że chodzi o to że nie można przedstawić przekroju tak jak ty to zrobiłeś o to chodzi ?

Godzio: bardziej by to pod sześcian podchodziło więc by było:

	R(√3 − 1)
R = r√3 + r => R = r(√3 +1) => r =
	2

Bogdan: Ciepło, ciepło. Kontynuuj

Godzio: Próbuje to wyobrazić sobie to w przestrzeni ale ciężko idzie a o rysunku już nie wspominając

Godzio:

	√6
h =		R
	2

	√2
h1 =		R
	2

z tw. cosinusów h² = 2h₁² − 2h₁²cosα

6
	R2 = R2(1 − cosα)
4

3
	= 1 − cosα / −1
2

1
	= −cosα
2

	1
cosα = −		=> α = 120o
	2

R = r√3 + r czyli wyszło że odległość środków obu kul jest równa przekątnej sześcianu

Bogdan: Odnośnie zadania 1. Odcinek OS na moim rysunku to nie przekątna kwadratu, to przekątna sześcianu o krawędzi długości r, jak słusznie zauważyłeś. R = r√3 + r = r(√3 + 1) ⇒ R² = r²(4 + 2√3) = 2r²(2 + √3) Pole kuli P_K = 4πr² Pole bryły

	1		1		5		5
PB =		*4πR2 + 3*		πR2 =		πR2 =		π*2r2(2 + √3) ⇒
	8		4		4		4

	5
⇒ PB =		πr2(2 + √3)
	2

PK		4πr2		8		8(2 − √3)
	=		=		=
PB		5   πr2(2 + √3) 2		5(2 + √3)		5

co kończy zadanie. Gratuluję Godzio dociekliwości i nieustępliwości

Godzio:

Godzio:

	2
Mógłbyś mi jeszcze tylko napisać w zadaniu 2. dlaczego |AF| =		a√3 ?
	3

Bogdan: To jest szkic do zadania 1.

Bogdan: W zadaniu 2 odcinek AF jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC o boku długości a.

	1
Długość promienia tego okręgu |SA| = |SB| = |SC| =		a√3
	3

a więc

	2
|AF| = 2*|SA| =		a√3
	3

Godzio: Świetny rysunek A jeszcze co do 2 − wiadome jest że podstawia mieści się się w tym miejscu co środek tak jak narysowałem chyba też jest taka możliwość ?

Bogdan: Na moim rysunku do zadania 2 podstawę ostrosłupa umieściłem poniżej środka kuli. W tym zadaniu umieszczenie na rysunku podstawy czworościanu powyżej środka kuli, na środku względnie poniżej środka nie wpływa na przebieg rozwiązania.

Godzio: A dobra dzięki wszystko już rozumiem dzięki jeszcze raz

bajka: Godzio i jesteś poratowany warto było za takie słowa pochwały od Bogdana

Godzio: czyli jednak coś skutkuje

Eta: ...... ale nie za często, bo możesz dostać komen od np: omg

Godzio: spokojnie to będzie bardzo bardzo ale to bardzo rzadko a póki co 2 zadanka zostały