Zadanie dla Maćka:) think: Zadanie dla Maćka innych proszę o nie wpisywanie tutaj odpowiedzi Sprawdź, który ze zbiorów ma więcej elementów:

	420 − 813		820 − 413
A = [		;		]
	161/4		161/4

	820+420−813 −413		820+420−813−413
B=[−		;		]
	2*161/4		2*161/4

Maciek: Dziękuję , zrobię wieczorem albo jak znajdę chwilę wolnego w pracy

think: Maciek nie poganiam nie wiem po prostu co będę robiła w godzinach 21 −22, więc wcześniej wpisałam zadanko niech wisi i czeka na Ciebie przykro mi, że pracujesz w niedzielę, też mi się zdarza na całe szczęście rzadko

Maciek: Wyszło mi tak : A=2²¹−2¹⁴+1 , a w B jestem w takim momencie:

	2*223+2*222−2*216−2*215
B=		+1 Czy jestem na dobrej drodze think?
	22

think: Maciek robisz błąd, 8²⁰ = (2³)²⁰ = 2^3*20 zdaje się, że wszędzie masz błąd tego typu.

Maciek: ok od nowa lecę

think: ano trzeba będzie... zrewidować poglądy

Maciek: B−A=2³⁹ ?

think: poczekaj policzę, ale przyznam, że pisząc te zadanie spodziewałam się wyniku 0

think: ano tak zrobiłam błąd dlatego nie wyszło 0

think: zgadza się to poprawna odpowiedź

Maciek: yupi jak będę w domu to mam jeszcze 2 zadania z równaniem z parametrem to byś mi pomogła bo zapomniałem jak to się liczyło

Maciek: 1.Niech A=<2,7> oraz niech B oznacza zbiór liczb całkowitych x spełniających nierówność Ix−mI≤2.Zbadaj liczbę elementów zbioru A∩B w zależności od parametru m. Nie pamiętam jak się do tego zabrać czy nie czasem dla m>0 m=0 i m<0?

Godzio: to się normalnie rozpisuje: |x − m| ≤ 2 x − m ≤ 2 i x − m ≥ − 2 x ≤ m + 2 i x ≥ m − 2 B = <m−2, m + 2> szukamy A∩B żeby była mowa o części wspólnej to musi być założenie: m −2 ≤ 7 i m + 2 ≥ 2 m ≤ 9 i m ≥ 0 I teraz jedyny pomysł jaki przychodzi mi na myśl to podstawianie po kolei m = 0, m = 1, m = 2 itd. i wypisywanie ilości elementów wspólnych np. m = 0 => B = <−2,2> => 1 element wspólny ( dla 9 będzie tak samo ) m = 1 => B = <−1,3> => 2 elementy wspólne ( dla 8 tak samo) Może poczekamy na lepszego fachowca ale myślę że ten sposób też dobry

Maciek: m −2 ≤ 7 i m + 2 ≥ 2 , a nie może być m−2≤2 i m+2≥7? Dlaczego nie?

Godzio: z tego byś otrzymał sprzeczność, zaraz Ci pokarze dlaczego tak a nie inaczej

Godzio: Jak widać jeśli m + 2 wyjdzie po za 2 to już nie ma mowy o części wspólnej tak samo jeśli m − 2 wyjdzie po za 7 tak samo nie ma nic wspólnego pomiędzy tymi przedziałami dlatego konieczne jest takie a nie inne założenie

Maciek: Ja mam w odp: 0 elementów dla m∊(−∞,0)∪(9,+∞) 1 element dla m∊<0,1)∪(8,9> ... 4elementy dla m∊<3,4)∪(5,6> Jak do tego w najprostszy sposób dojść?Bo tylko to z przedziałem (−∞,0)∪(9,+∞) i zerem elementów jest dla mnie logiczne

Godzio: a no tak zawsze się zapomina tą odpowiedź no skoro to m+ 2 wyjdzie za dwójkę albo m − 2 za 7 to jest zero elementów i to jest właśnie przedział dla tego

Maciek: To rozumiem ale dlaczego jest np. 1 element wspólny dla m∊<0,1)∪(8,9> , rozumiem ,że tu jest tylko 9 elementem wspólnym?

Józio: Godzio podał zakres dla "m" m€ < 0,9> i m€C przeprowadzamy analizę ilości elementów A n B w zależności od tego "m" : 1/dla m€( −∞, −1> U <10, ∞) mamy −−− zbiór pusty ( 0 elementów dla An B) bo: dla m= −1 B= < −3, 1> i A= <2, 7> to AnB= zb. pusty ( brak elementów) dla m= 10 B= <8, 12> podobnie dla m= 0 v m= 9 mamy jeden element wspólny bo dla m=0 B= < −2, 2> i A= <2,7> to AnB = {2} −− 1 element m= 9 B= < 7, 11> podobnie dokończ dla m= 1 v m= 8 ........ otrzymasz: ( 2 elementy) dla m= 3 v m=6 ............ (4 elementy) dla m= 4 v m= 5 ........... ( 5 elementów)

Józio: oczywiście nie zapomnij jeszcze policzyć dla m= 2 v m= 3 v m= 7 ........ otrzymasz ( 3 elementy)

Józio: Poprawka dla m= 2 v m= 7 ... ( 3 elementy) bez m=3 ( bo już to liczyliśmy)

Maciek: Ok to już czaję i dokończę , ale jeszcze mam coś takiego: Ix−mI+Ix−7I=3 − wyznacz te wartości parametru m dla których równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

think: ach musisz tak dobrać m aby suma tych dwóch wartości bezwzględnych była stała = 3

think: zrobiłam sobie wolne popołudnie, mój dziadek za dwa dni kończyłby 100 lat gdyby żył, więc wybraliśmy się na cmentarz, nie ma co się łudzić, że uda nam się to w tygodniu...

Maciek: Czyli opuszczać wartości bezwględne : x−m+x−7=3 v −x+m−x+7=3 ?

think: 1^o x − m ≥ 0 i x + 7 ≤ 0 x ≥ m i x ≤ −7 wtedy opuszczamy wartości bezwzględne zmieniając odpowiednio znaki x − m − x + 7 = 3 −m = −4 m = 4 wychodzi nam sprzeczność, bo x nie może być x ≥ 4 i zarazem x ≤ −7 2^o x − m ≤ 0 i x + 7 ≥ 0 x ≤ m i x ≥ −7 −x + m + x − 7 = 3 m = 10

think: chodzi o te przypadki kiedy iksy nam się uproszczą.

think: chociaż przyznaję dziwne jest to zadanie... masz odpowiedzi?

Maciek: Dlaczego zawsze zapisujesz x+7 skoro w wartości jest x−7 , a parametr przepisujesz z minusem? I jak dobrać założenia ?

Maciek: Odp. m=4 v m=10

think: błąd ludzki, wzrok widać nie ten.... ma być oczywiście x − 7 popraw w takim razie i zobaczmy jak Tobie wyjdzie.

Godzio: Najlepiej rozpisz sobie to na wszystkie możliwe przypadki |x − m| + |x − 7| = 3 x ≥ m x ≥ 7 x − m + x − 7 = 3 => 2x − m = 10 v x ≥ m x < 7 x − m − x + 7 = 3 => m = 4 v x < m x ≥ 7 − x + m + x − 7 = 3 => m = 10 v x < m x < 7 − x + m − x + 7 = 3 => −2x + m = − 4 => 2x − m = 4 I wydaje mi się że tam gdzie jest 2x − m = 4 i 2x − m = 10 nawzajem się wykluczają więc jedynymi rozwiązaniami jest m = 4 v m = 10 ale głowy nie dam

Maciek: Taka jest odpowiedź Godzio ,rzeczywiście rozpisanie na wszystkie przypadki ułatwia sprawę

Józio:

think: masz przykładowy rysunek sumy dwóch wartości bezwzględnych. Ponieważ chcemy aby równanie miało nieskończenie wiele rozwiązań, to znaczy, że nasz wykres nie może przecinać w pewnych punktach prostej y=3 ale na pewnym odcinku musi się na nią nakładać, tak jak Ci to narysowałam na rysunku. Jak się opuszcza wartości bezwzględne rozpatrujemy przypadki gdy ax + b > 0 to po opuszczeniu kresek mamy samo ax + b, natomiast jeżeli jest ujemne to wystarczy zmienić −(−) da nam plus dlatego jeśli zawartość wartości bezwzględnej jest ujemna to po jej opuszczeniu piszemy −(zawartość między kreskami wart. bezwzgl.) a jak z dodawania dwóch wartości bezwzględnych dostać aby iksy nam się uprościły, po prostu jeden nawias musi być dodatni a drugi ujemny i na odwrót i ot cała fizozofia

Maciek: Mam jeszcze coś takiego i nie wiem jak się do tego zabrać :

	5		a		7
Liczby naturalne a i b spełniają warunek		<		<		.Wyznacz najmniejszą możliwą
	31		b		43

wartość b.

think: no tak ja mam przebłyski a on wykonuje rzetelną pracę

think: cóż najwygodniej to chyba sprowadzić do wspólnego mianownika?

Maciek: i co dalej ?

think: a sprowadziłeś?

Godzio:

	1
a wynik to może 6		?
	6

Maciek:

215		a		217
	<		<
1333		b		1333

think: ale NWD(31,43) = 1....

Maciek:

	−215b−217b+a
0<		<0
	1333

Maciek: aa ^^ pojechałem na skróty

think:

	216
czyli po środku musi być
	1333

think: a ani 31 ani 43 nie jest dzielnikiem 216

think: czyli to jest najmniejsza możliwa liczba.

Godzio: myślałem że jakieś trudniejsze że coś więcej niż do wspólnego mianownika i kombinowałem

think: choć raz Lucynka górą

Godzio: Maciek ? Wynik się zgadza ?

Maciek: Odpowiedź jest b=37

Godzio: to rzeczywiście Lucynka górą

Maciek:

	1
Godzio 6 i		to na logikę a tu zaskoczenie
	6

Maciek: To co macie jakieś pomysły ?

think: czyli kolejne liczby pierwsze...

think: no jeszcze 41 mogło być.. ale jest większe od 37

Maciek: Możesz jaśniej ?

think: 31 jest liczbą pierwszą dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie tak samo 43.

Maciek: No okey ale dlaczego 37?

think: bo też jest liczbą pierwszą, zaraz sprawdzę czy dla 41 też by wyszło

think: Maciek, między dwie liczby można wpisać nieskończenie wiele liczb, może trzeba było iść w kierunku 5 < a < 7 więc a = 6 to ile będzie wynosiło b. czasem potrzeba szczęścia, no chyba, że Godzio ma lepsze wyjaśnienie

Godzio: lepszego nie mam

think: 41 odpada, bo a nie wychodzi naturalne.

Maciek: Acha czyli pomiędzy 31 a 43 najmniejszą liczbą pierwszą jest 37 A nie można by tam dać np. 32 − co prawda nie jest pierwsza ale by pasowała ?

think: możesz sprawdzić pamiętaj, że a też musi być naturalne.

Maciek: Nie pasuje dobra kończę bo już mi się dziś znaczy "wczoraj" nie chce myśleć Dziękuje wam P.S. Wiem ,że to portal matematyczny ,ale Godzio "pokaże" się pisze przez z z kropką

Maciek: Józio Odp. jest b=37 jak coś

Godzio: gdzie ja to napisałem ?

Godzio: dobra tam Ja też już lecę spać dobranoc

think: ano a ja jeszcze pomyślę czemu tak, ale też mam dość... Maciek heheh dobrze, że ja na mozilli dopiero byś zobaczył co oznacza polska jezyk trudna jezyk

Eta: No to tak:

	5+7
średnia arytmetyczna liczników		= 6
	2

	31+43
średnia arytmetyczna mianowników		= 37
	2

	5		6		7
		<		<
	31		37		43

b= 37 pasuje?

think: Eto a ma to jakieś wyjaśnienie? czy dopasowujesz rozwiązanie do wyniku

Józio: Dobranoc Józio jest bardzo śpiący

think: Dobrej nocy

Eta: Wyjaśniam: licznik najmniejszy całkowity : 5, 6, 7

	5+7
5,a,7 => a=		= 6 −−− średnia arytmetyczna
	2

to i mianownik najmniejszy całkowity ( też średnia arytmetyczna)

	31+43
31,b, 43 => b=		= 37
	2

think: i tak jest zawsze? kurcze nigdy się z tym nie spotkałam, ale na pewno zapamiętam

Maciek: Również teraz zapamiętam

bajka: to i ja też

b.: Nie do konca wierze w to wyjasnienie, np.

	5		a		7
		<		<
	23		b		27

wg metody Ety:

	5+7		23+27
a =		= 6 b =		= 25
	2		2

	5		6		7
		<		<		−− to sie zgadza,
	23		25		27

ale mamy tez

	5		1		7
		<		<
	23		4		27

w oryginalnym zadaniu mozna postepowac tak

	5		a		7
		<		<
	31		b		43

5b < 31a i 43a < 7b 35b < 217a i 215a < 35b czyli 215a < 35b < 217a oczywiscie im mniejsze b, tym mniejsze a, i na odwrot; sprawdzamy wiec po kolei: a=1: 35b = 216 sprzecznosc, a=2: 35b ∊ (430, 434) −− sprzecznosc itd., az dojdziemy do rozwiazania

b.: A swoja droga, metoda Ety bierze sie z nastepujacej nierownosci:

	a		c		a		a+c		c
jesli		<		i a,b,c,d>0, to		<		<
	b		d		b		b+d		d

moze to byc nierownosc dla Kejt