Trygonometria Godzio: Mieszanka trygonometryczna dla TOmka 1. Wykazać, że dla każdego kąta α prawdziwa jest nierówność: √3sinα + √6cosα ≤ 3

	1
2. Obliczyć sin3α + cos3α mając dane sin2α =		.
	4

	π		−2
3. Sprawdzić tożsamość: tg(x −		) − 1 =
	4		tgx + 1

	4
4. Wyznaczyć dziedzinę funkcji: f(x) =
	sinx + 2cosx + 3

5. Dla jakich wartości sinx liczby sinx, cosx, sin2x ( w podanym porządku ) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego? Wyznaczyć czwarty wyraz tego ciągu dla każdego z rozwiązań − to zrób jeśli przerabiałeś sobie ciągi. 6. Wykazać że: tg82^o32' − tg7^o30' = 4 + 2√3 7. Rozwiązać równanie: 2sin2x + 2cos2x + tgx = 3 8. Rozwiązać w przedziale <0,π> równanie : 1 + sin2x = 2sin²x

	1		1
9. Rozwiązać równanie:		+		= √8
	sinx		cosx

	π		π
10. Rozwiązać nierówność sin2x < sinx w przedziale < −		,		>
	2		2

Jak czegoś nie będziesz wiedział to zostaw jak przerobisz dalszą część trygonometrii to do nich wrócisz.

bzzz: Godzio czy ja Ci już pisałam jak baaaardzo Cię lubię od jakiegoś czasu próbuję wykroić czas, żeby TOmkowi jakieś zadania wypisać, przy czym ja zwykle daje mu te łatwe a tu mnie tak pięknie wyręczyłeś normalnie cud, miód i orzeszki

Godzio: No te też w większości są łatwe

bzzz: może są łatwe dla nas, dla TOmka już niekoniecznie...

Godzio: to odświeżam bo widzę że TOmek przyszedł

TOmek: przepraszam łatwe? Zadania zaczynające sie typu "wykaż" odrazu mnie odrzucają a tu jeszcze ta choler... trygonometria Spróbujemy 1.Wykazać, że dla każdego kąta α prawdziwa jest nierówność: √3sinα + √6cosα ≤ 3 √3sinα + √6cosα ≤ 3 / ² 3sin²α+6cos²α ≤ 9 / korzystam ze wzoru sin²α+cos²α=1 3sin²α+6*(1−sin²α) ≤ 9 / cos²α=1−sin²α 3sin²α+6−sin²α ≤ 9 2sin²α+6−9 ≤ 0 2sin²α−3 ≤0 co dalej?

TOmek: po kolei będę robił zadanka i jak będę mieć problem to odrazu jakies wskazóweckczki będę chciał, tak za 2 tyg. sobie je znowu zrobie samemu

Godzio: ok tylko w tym zadaniu musisz wrócić na początek − wzór skróconego mnożenia coś nie gra

TOmek: 2sin²α ≤ 3 /2

	3
sin2α ≤		/ √x
	2

	√3*√2
sinα ≤
	√2*√2

	√6
sinα ≤
	2

TOmek: wzór skróconego mnożenia ?

TOmek: czuje ,ze ten temat to będzie mój nowy rekord (stary 96 postów) Ale zadanka naprawdę warte czasu

Godzio: a + b ≤ c /² a² + 2ab + b² ≤ c² prawda ? 3sin²α + 6√2sinαcosα + 6cos²α ≤ 9

TOmek: wybaczcie system mi sie skopał musiałem reseta zrobić juz robie

Godzio: spoko póki co mamy czas

bzzz: TOmek, ale nie ma co wybaczać. Nikt Ci tego nie każe robić na wydechu! Na spokojnie, to może zrobisz SWÓJ rekord i zmieścisz się w tylu postach ile jest zadań, bo nie będzie trzeba NIC poprawiać no trzymam kciuki w każdym razie teraz zmykam, będę później

TOmek: a no tak głupi błąd, przeciez to pierwiastkowanie √3sinα + √6cosα ≤ 3 /² (√3sinα + √6cosα)² ≤ 9 3sin²α + 6√2sinαcosα + 6cos²α ≤ 9 3sin²α + 6√2sinαcosα+6(1−sin²α) ≤ 9 3sin²α + 6√2sinαcosα+6−6sin²α ≤ 9 3sin²α + 6√2sinαcosα−6sin²α ≤ 3 −3sin²α + 6√2sinαcosα ≤ 3 6√2sinαcosα co z tym zrobić

Godzio: najlepiej podziel sobie to na 3 żeby uprościć to po pierwsze, apo 2 powinno by ... ≤ −3 i teraz spróbuj tak: przenieś −3sin²α na prawą stronę i podnieść do kwadratu

TOmek: −3sin²α + 6√2sinαcosα ≤ 9−6 / wieć 3 chyba? −3sin²α + 6√2sinαcosα ≤ 3 /3 −sin²α + 2√2sinαcosα ≤ 1 2√2sinαcosα ≤ sin²α +1 /² 4*2sin²α * cos²α ≤ sin⁴α +1 8sin²α * cos²α − sin⁴α −1 ≤ 0 8sin²α *(1−sin²α) − sin⁴α −1 ≤ 0 8sin²α−9sin⁴α −1 ≤ 0 wprowadzam zmienną t=sin² 8*t−9*t²−1≤0 −9t²+8t−1≤0 Δ=64−4*(−1)*(−9) Δ=64−36

TOmek: słowo "wykaż" strasznie mnie demotywuje nie wiem czasami co zrobić w zadaniu

Godzio: a rzeczywiście nie dopatrzyłem tylko znów wzór skróconego mnożenia (sin²α + 1)² później rób tak jak robiłeś i powinieneś coś zauważyć

TOmek: aha, kurna .... TOmku ucz sie na błędach ! 2√2sinαcosα ≤ sin2α +1 /² to jade dalej

TOmek: 2√2sinαcosα ≤ (sin²α +1)² / ² 8sinα * cosα ≤ sin⁴α+2sin²α+1 wiem ,ze mogę to podzielić przez 4 i będę po lewej miał sin2α

Godzio: nie, nie rób tak jak robiłeś

Godzio: ale czeka bo ty masz: 8sin²αcos²α ≤ sin⁴α + 2sin²α + 1 zamieniaj cos²α = 1 − sin²α wymnażaj i przenoś wszystko na jedną stronę

Godzio: Ja na chwile od kompa odchodzę będę za niedługo

TOmek: 8sinα * cosα ≤ sin⁴α+2sin²α+1 / ² 64sin²α * cos²α ≤ (sin⁴α+2sin²α+1)² 64sin²α * (1−sin²α) ≤ (sin⁴α+2sin²α+1)² 64sin²α − 64sin⁴α ≤ (sin⁴α+2sin²α+1)² / √ teraz jak to zpierwiastkować 64sin²α − 64sin⁴α 64sin²α − 64sin⁴α ≤ √64sin²α − 64sin⁴α=√64sin²α − √64sin⁴α tak? Jeśli to prawda to 8sin − 8 sin² ≤ sin⁴α+2sin²α+1 8sin − 8 sin² − sin⁴α− 2sin²α+1 −1 ≤ 0 8sin − 10sin²α − sin⁴α −1 ≤ 0 spraawdź

Godzio: ale tu jednak modzisz 8sin²αcos²α ≤ sin⁴α + 2sin²α + 1 8sin²α(1 − sin²α) ≤ sin⁴α + 2sin²α + 1 8sin²α − 8sin⁴α ≤ sin⁴α + 2sin²α + 1 0 ≤ 9sin⁴α − 6sin²α + 1 0 ≤ (3sin²α + 1)² − to jest prawdziwe zawsze bo x² ≥ 0 dla x ∊ R

TOmek: 8sin²α cos²α ≤ (sin4α + 2sin2α + 1)² / ² 64sin⁴α cos⁴α ≤ (sin4α + 2sin2α + 1)² 64sin⁴α cos²α*cos²α ≤ (sin4α + 2sin2α + 1)²

TOmek: sorki ale pomotałem juz nie wiedziałem która linijka jest dobra dobra jedziemy 2

TOmek:

	1
2. Obliczyć sin3α + cos3α mając dane sin2α =
	4

	1
sin2α =
	4

	1
2sin*cos =
	4

mam obliczyć 3sin − 4sin³ + 3cos³ − 3cos 3sin − 2*2sin*sin² + 3cos³ − 3cos 3sin − 2*2sin*(1−cos²) + 3cos³ − 3cos 3sin − 2*2sin − 4sincos² +3cos³ − 3cos 3sin − 2*2sin −2*2sin*cos*cos+3cos³ − 3cos

	1
3sin − 2*2sin −		*cos + 3cos3 − 3cos
	2

TOmek: dobrze kombinuje?

Godzio: sin³α + cos³α = (sinα + cosα)(sin²α − sinαcosα + cos²α) − od tego przydało by się zacząc

	1
2sinαcosα =
	4

	1
sinαcosα =
	8

Godzio: i teraz kombinuj wracam za 10 − 15 minut

TOmek: aha bo to jest a³+b³= (sinα + cosα)(sin²α − sinαcosα + cos²α) (sinα + cosα)(sin2α − sinαcosα + cos2α)

	1
sin*cos=
	8

(sinα + cosα)(2sin*cos − sinαcosα + cos²−sin²)

	1		1
(sinα + cosα)(2 *		−		+ cos2−sin2)
	8		8

	1
(sinα + cosα)(		+ (1−sin2) − sin2)
	8

	1
(sinα + cosα)(		+1−sin2− sin2)
	8

	1
(sinα + cosα)( 1		−2sin2)
	8

	1		1
1		sin −2sin3 + 1		cos −2sin2cos
	8		8

	1		1
1		sin −2sin3 + 1		cos −2sin*sin*cos
	8		8

	1		1		1
1		sin −2sin3 + 1		cos −2sin*
	8		8		8

cięzkie zadanka, nie spodziewał by się takich na maturce roz. Ale wiem ,,ze dzieki temu ,ze robie trudniejsze zadanka pisząc maturę bedą dla mnie łatwiejsze

Godzio: to nie jest trudne zadanie wystarczy mieć pomysł, i specjalnie zaznaczyłem Ci na kolorki co połączyć a ty swoje sin²α + cos²α = 1

	1
−sinαcosα =
	8

	9
czyli (sinα + cosα) *		= ?
	8

i teraz można tak: sin²α + cos²α = 1

	1
(sinα + cosα)2 − 2sinαcosα = 1 a wiemy że sinαcosα =
	8

Teraz z tego oblicz sinα + cosα podstaw do tamtego i masz wynik

TOmek: (sinα + cosα)² − 2sinαcosα = 1 pamiętam taką kombinacje ze wzorów Vieta

	1
(sinα + cosα)(1		− 2sin2)
	8

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	2
(sinα + cosα)2 −		= 1
	8

TOmek: trudne te zadanko, wybacz ale tu się poddaje interesuje mnie 9 i 7 (9 już zrobiłem i nie wiem co dalej sprawdzisz?) a teraz robie 7

TOmek:

	1		1
9. Rozwiąż równanie		+		= √8
	sin		cos

cos		sin
	+		= √8
sin * cos		cos*sin

cos+sin
	= √8 /*sin*cos
sin*cos

sin+cos = √8*sincos / ² sin²+2sin*cos+cos² = 8 * sin² cos² sin²+cos²+2sincos=8 * sin² cos² 1+2sincos=8 * sin² cos²

Godzio: ok To teraz dalej 1 + sin2α = 2sin²2α sin2α = t 1 + t = 2t² i licz dalej

Godzio: dodam że 2sinαcosα = sin2α żeby było wiadome

think: TOmek, ale rozwiązanie równania tego typu polega na podaniu takich α dla których to jest prawda.

	π
czyli odpowiedzi typu α =		+ 2kπ
	6

Godzio: Tylko że na początku powinieneś wyznaczyć dziedzinę sinx ≠ 0 x ≠ kπ i cosx ≠ 0

	π		π
x ≠		+ 2kπ i x ≠ −		+ 2kπ
	2		2

Ja już lecę będę koło 19 jak coś Lucyna na pewno Ci pomorze jak byś miał jakieś wątpliwości Powodzenia

think: akurat TOmkowi na pewno pomogę

TOmek: 1 + sin2α = 2sin22α zmienna pomocnicza sin2α = t 1+t=2t² 1+t−2t²=0 −2t²+t+1=0 Δ=1+4*(−2)*1 Δ=9 √Δ=3

	−1+3		1
x1=		= −
	−4		2

	−1−3
x2=		= 1
	−4

tam jeszcze sin≠0 , cos≠0 D=R\{0}

	1
Odp: x∊{ −		,1}
	2

TOmek: aha zapomniałem ten pieprzony wykres sin i cos xD ten post Godzia jest dla mnie zrozumiały

TOmek: 7. Rozwiązać równanie: 2sin2x + 2cos2x + tgx = 3

	sin
4sin*cos+2sin2*(1−sin2)+		=3
	cos

	sin
4sin*cos+2sin2−2sin4+		=3 /*cos
	cos

4sin*cos²+2sin²*cos−2sin⁴cos=3cos

TOmek: 7 zadanko zrobie i juz dosyć mam tej trygonometrii i tak myśle ,ze nawet ją ogarnąłem Teraz kochane ciągi zaczynamy

think: TOmek wróć, wyliczyłeś jakieś x, ale nie odwróciłeś podstawienia!

	1
sin2α =		⇒ α = ....
	2

sin2α = 1 ⇒ α =....

think: cos2x = cos²x − sin²x

TOmek: o kurna sorki ale wczesniej wstałem dzisiaj

	1
x1=
	2

	1
sin2α=
	2

x₂=1 sin2α=1 tu by się wykresik przydał i bym dał rade

think:

	1
dla jakiego kąta sinx =		to jest z podstawowych kątów
	2

think: a wykres zawsze możesz sobie w zeszycie na brudno szkrobnąć

TOmek: idę zaraz spać bo nie mysle

	sin
4sin*cos+2cos2−sin2+		=3
	cos

think: 2*(cos²x − sin²x) = 2cos²x − 2sin²x...

TOmek: no to jest łatwe

	1
sinx=
	2

	1
sin30=
	2

30−x 190−π

	30*π		Δ
x=		=
	180		6

	Δ
x=		bez wykresu nie da rade
	6

TOmek: tak głupi jestem xD dobra musze zrobić bezbolesnie te zadanko

think: TOmek, lepiej idź się prześpij

	1		π		5π
sinx =		x =		+ 2kπ lub x =		+ 2kπ
	2		6		6

masz

	1		π
sin2α =		⇒ 2α =		+ 2kπ / :2
	2		6

	π
α =		+ kπ
	12

lub

	5π
2α =		+ 2kπ / : 2
	6

	5π
α =		+ kπ
	12

TOmek:

	sin
4sin*cos+2*(cos2−sin2)+		=3 /cos
	cos

4sin*cos²+2cos²*cos−2sin²+sin=3cos 4sin*cos²+2cos(1−sin²)−2sin²+sin=3cos 4sin*(1−sin²)+2cos(1−sin²)−2sin²+sin=3cos 5sin−4sin³−2sin²cos−2sin²=cos gdzie błąd?xD

TOmek: think ten ostatni Twój post czaje i bym sam do tego doszedł gdybym wstał 4 godziny pózniej xD

think: w drugiej linijce...mnożysz przez cos jednego elementu nie przemnożyłeś

TOmek: spokojnie te zadanko jest juz ostatnim które robie i daje Ci spokoj, parę fajnych rzeczy sie dowiedziałem jutro to przeleje na papier

think: dlatego idź odpocznij, nie łap się za te zadania bo są, tak tylko się do nich zniechęcisz

TOmek: 5sin−4sin³−4sin²cos=cos

TOmek: sorki mogłem linijkami przepisać, zbyt trudno będzie Ci zobaczyć czy dobrze Think ale zobacz sobie zadanko na ostatniej maturze. roz z trygonometrii i porównaj do tych które teraz robie. No niebo i ziemia

think: wiem Tomek, ale czy to powód żeby się ograniczać? Te zadanka na prawdę zmuszają człowieka do myślenia

think: nie trzeba, zgadza się, sama sobie rozpisałam wg tego jak robiłeś to poprzednie

think: ale nie wiem co mam Ci podpowiedzieć, bo sama męczę się nad tym zadaniem także chyba przyjdzie nam poczekać na Godzia

think: wiem jakie jest rozwiązanie, ale nie potrafię go wyprowadzić ehh pożal się Boże

	π		3π
rozwiązaniem będzie gdy tgx = 1, wtedy sinx = cosx, x =		+ 2kπ lub x =		+ 2kπ i
	4		4

mamy: 2sin2x + 2cos2x + tgx = 4sinxcosx + 2cos²x − 2sin²x + 1 = 4cos²x + 2cos²x − 2cos²x + 1 =

	√2		2
4cos2x + 1 = 4(		)2 + 1 = 4*		+ 1 = 3 i ok
	2		4

no ale póki tego normalnie nie wyliczę, to nie wiem czy jest to np jedyne rozwiązanie...czy są może jeszcze jakiś inne.

Godzio: Pozwolicie że zacznę od początku: cos2x = 1 − 2sin²x 2sin2x + 2cos2x + tgx = 3 i na samym początku dziedzina cosx ≠ 0

	π		π
x ≠		+ 2kπ i x ≠ −		+ 2kπ
	2		2

	sinx
4sinxcosx + 2(1 − 2sin2x) +		= 3 / * cosx
	cosx

4sinxcos²x + 2cosx(1 − 2sin²x) + sinx = 3cosx 4sinxcos²x + 2cosx − 4sin²xcosx + sinx − 3cosx = 0 4sinxcos²x − 4sin²xcosx + sinx − cosx = 0 4sinxcosx(cosx − sinx) − (cosx − sinx) = 0 (cosx − sinx)(2sin2x − 1) = 0 cosx = sinx v 2sin2x = 1 I teraz mamy 2 równania do rozwiązania

	π
cosx = sinx wiemy ze wzorów redukcyjnych że sin(		− x) = cosx więc podstawiamy
	2

	π
sin(		− x) = sinx
	2

π		π
	− x = x + 2kπ v		− x = π − x + 2kπ
2		2

zostawiam do rozwiązania

	1
sin2x =		− z tym problemów już być nie powinno więc też zostawiam, jeśli będzie potrzeba
	2

to uwzględnić dziedzinę w rozwiązaniu końcowa odpowiedź to:

	π		π		5π
x =		+ kπ v x =		+ kπ lub		+ kπ k∊C
	4		12		12

AS: Spróbuję − zad.1 √3sin(α) + √6cos(α) ≤ 3 |:√3 sin(α) + √2cos(α) ≤ √3 Podstawiam: √2 = tg(β) Otrzymuję nowe równanie sin(α) + tg(β)cos(α) ≤ √3

	sin(β)
sin(α) +		cos(α) ≤ √3 |*cos(β)
	cos(β)

sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β) ≤ √3*cos(β) sin(α + β) ≤ √3cos(β)

	1
Z podstawienia tg(β) = √2 mamy cos(β) =
	√3

stąd

	1
sin(α + β) ≤ √3*
	√3

czyli sin(α + β) ≤ 1 c.n.d.

Godzio: Ciekawe rozwiązanie

AS: A może tak sin(α) + √2cos(α) ≤ √3 tworzę funkcję f(α) = sin(α) + √2cos(α) Obliczam pierwszą pochodną i ekstremum f'(α) = cos(α) − √2sin(α) = 0 cos(α) = √2sin(α)

	1
tg(α) =		z czego wynika , że sin(α) = √2/3 , cos(α) = 1/√3
	√2

Dla takich α zachodzi maksimum f(α) = √2/3 + √2*1/√3 f(α) = √2/3 + √2/3 f(α) = 2√2/3 Wracając do podstawowej nierówności mamy 2√2/3 ≤ √3 |*√3 2√2 ≤ 3 √8 ≤ √9 c.n.d. bo jeżeli nierówność jest spełniona dla największej wartości,tym samym dla mniejszej wartości.

AS: Zad.2

	1
2sin(α)cos(α) =
	4

sin²(α) + cos²(α) = 1 Stronami dodaję/odejmuję

	1
sin2(α) + 2sin(α)cos(α) + cos2(α) = 1 +
	4

	1
sin2(α) − 2sin(α)cos(α) + cos2(α) = 1 −
	4

	5
(sin(α) + cos(α))2 =
	4

	3
(sin(α) − cos(α))2 =
	4

	√5
sin(α) + cos(α) =
	2

	√3
sin(α) − cos(α) =
	2

Stronami dodając/odejmując otrzymamy

	1		1
sin(α) =		(√5 + √3) cos(α) =		(√5 − √3)
	4		4

Teraz podstawiając łatwo obliczymy sin³(α) + cos³(α)

walet: Do Asa

	1		1
Jeśli tgβ = √2 to bez dodatkowych założeń cosβ =		lub −		,
	√3		√3

	1
a nie tylko		, prawda?
	√3

Godzio: Napiszę jeszcze rozwiązanie 2 zadania żeby było też na czym korzystać, innym sposobem niż AS

	1
sin3α + cos3α = ? sin2α =
	4

	1		1
2sinαcosα=		⇒sinαcosα=
	4		8

sin²α + cos²α = 1 sin²α + 2sinαcosα + cos²α − 2sinαcosα = 1

	1
(sinα + cosα)2 −		= 1
	4

	5
(sinα + cosα)2 =		/ √
	4

	√5		√5
sinα + cosα =		v sinα + cosα = −
	2		2

sin³α + cos³α = (sinα + cosα)(sin²α − sinαcosα + cos²α) =

	1		7
(sinα + cosα)(1 −		) = (sinα + cosα) *		= ...
	8		8

	√5		7		7√5
1o ... =		*		=
	2		8		16

	√5		7		7√5
2o ... = −		*		= −
	2		8		16

AS: Do Walet Oczywiście,że tak. Ale nie chciało mi się już dalej rozpisywać. Traktowałem to jako pokazanie metody rozwiązania.

AS: Korekta do zadania 1 sposób 2

	1		1
tg =		z czego wynika,że sin(α) =		, cos(α) = √2/3
	√2		√3

	1
f(α) =		+ √2*√2/3 = 3/√3 = √3
	√3

Wracając do podstawowej nierówności,mamy √3 ≤ √3 c.n.d.

AS: Zad.4 Warunek podstawowy: mianownik różny od zera sinx + 2cosx + 3 = 0 podstawienie

	2t		1 − t2
sinx =		, cosx =		gdzie t = tg(x/2)
	1 + t2		1 + t2

2t		1 − t2
	+ 2*		+ 3 = 0 |*(1 + t2)
1 + t2		1 + t2

2t + 2(1 − t²) + 3(1 + t²) = 0 t² + 2t + 5 = 0 Δ = 4 − 4*1*5 = −16 brak pierwiastków rzeczywistych Mianownik dla każdego α przybiera wartość dodatnią. Ułamek określony dla każdego α

Godzio: AS nie rozpędzaj się bo to zadania dla TOmka

Godzio: TOmek przerobiłeś już sobie nierówności trygonometryczne ? Mam trochę czasu i bym Ci wytłumaczył + przykłady i do tego dorzuciłbym jakieś trudniejsze równania a na końcu jakieś 2 przykłady bym dał. Co ty na to?

: no dobra, niech bedzie ze sie czepiam, ale nierówności nie mozna tak podnosic do kwadratu, bo np. −10≤5 ale juz 100≤25, wiec raczej sposob TOmka bez dodatkowych zalozen nie jest poprawy.... i przepraszam za brak polskich znakow, ale mi prawy alt mi nie dziala ;>

Godzio: który to moment ? bo z tego co patrzę to prawa strona jest zawsze dodatnia

Godzio: √3sinα + √6cosα ≤ 3 /² 3sin²α + 6√2sinαcosα + 6cos²α ≤ 9 /: 3 sin²α + 2√2sinαcosα + 2cos²α ≤ 3 1 − cos²α + 2√2sinαcosα + 2cos²α ≤ 3 2√2sinαcosα ≤ 2 − cos²α /² 8sin²αcos²α ≤ 4 − 4cos²α + cos⁴α więc nie potrzeba dodatkowych założeń

TOmek: możesz zapodać 1 lub 2 zadanka z nierówności tryg. nie ma problemu. Chętnie sie czegos naucze

Godzio: Dobra ale to w osobnym poście już napiszę żeby w tych śmieciach się nie babrać

TOmek: ok

AS: Do Godzia! W ten sposób wprowadzasz do rozwiązania pierwiastki obce. W końcówce trzeba sprawdzać,które z nich są właściwe.

Godzio: chodzi o to że po podnoszeniu do kwadratu powinno się rozpisać na 2 nierówności ?

b.: chodzi o to, ze jeśli rozwiązujesz równanie (*) f(x) = g(x) podnosząc do kwadratu i rozwiązując równanie f²(x) = g²(x) to otrzymane rozwiązania niekoniecznie spełniają (*) −− trzeba w każdym przypadku to sprawdzać... przykład: równanie (*) x+1 = 2 do kwadratu: (x+1)² = 4 dwa rozwiązania: x=1 lub x=−3, ale tylko jedno z nich spełnia (*)

Godzio: dobra to chyba jednak sposób Asa jest lepszy