Trygonometria :( czegoś tu nie czaje TOmek: mamy taki przykładzik:

	1
sin120=sin(90+30)=sin30=
	2

	1
sin120=sin(180−60)= −cos60= −
	2

jak mam kąt powyżej 180 to nie ma problemu gorzej jak jest ∡<180 wtedy go można rozwiązac na 2 przykłady ale przecież to są 2 różne wyniki.. Może mnie ktoś oświecić w tej kwestii?

yyy: Tam jest błąd. zawsze przy funkcji kąta 90 stopni i 210 jest zamiana funkcji.

yyy: mamy sin120=sin(90+30)=cos30

TOmek:

	√3
no to mamy cos30−>
	2

	1
i −cos60 −> −
	2

wytłumaczy mi ktoś dlaczego z sin120 wychodzą 2 rózne wyniki Czy ja może po prostu to źle rozwiązałem "Zawsze przy funkcji kąta 90 stopni i 270 jest zamiana funkcji." pozdrawiam

yyy: wzory redukcyjne sin(π/2−x)=cosx cos(π/2−x)=sinx

yyy: przepraszam 270*

yyy: wychodzi ten sam wynik sin120=sin(180−60)=sin60=√3/2

yyy: trzeba w tym zapamietać, że zamiana funkcji jest przy 90 i 270 stopni również trzeba pamietać znaki funki w danych ćwiartkach

TOmek: dobra dziekuje pasuje ...

yyy: przez forum za bardzo sie nie da.

TOmek: ja piernicze tak po głębszym przeanalizowaniu tego tematu: masakra to jeszcze są jakieś wzory inne niż te: https://matematykaszkolna.pl/strona/430.html : znalazłem

	π
sin(		x)=cosx
	2

cos(π−x)= − cos ja pierniczne myslałem ,ze juz zrozumiałem te wzory redukcyjne a tu znowu coś // −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	√3
sin120=sin(90+30)= cos30= −
	2

	√3
sin120=sin(180−60)= sin60=
	2

https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=430 − myślałem ,ze ta zasada Gustlika wystarczy mi to rozwiązywania wszystkich zadań z trygonometrii i chce nadal tak myslec, tylko na razie jestem zakłopotany w tryg... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− To jest bardzo ciekawy przypadek mysląc na motodę gustlika inaczej bym go rozwiązał "yyy: mamy sin120=sin(90+30)=cos30" 120−>2 cwiartka tylko sin dodatki, wiec powinno być − cos 30 hmm? chyba ,ze jeszcze jest taki coś ,ze jak zmieniamy sin−>cos, cos−> sin itp.. to nie patrzymy na cwiartke wyrazu wychodzącego w tym przypadku "sin120" tylko wyrazu ostatecznego w tym przypadku cos30 ? HELP

TOmek: godzio Ty podobno lubisz trygonometrie pomoż

Godzio: Postaram Ci to dogłębnie wytłumaczyć tylko to zajmie jakiś czas więc się wstrzymaj

TOmek: oczywiście

Godzio: Zapewne tą formułkę już znasz: w pierwszej wszystkie są dodatnie w drugiej tylko sin w 3 tg i ctg a w czwartej cosinus. W takim razie weźmy sobie przykład sin150 = sin(90 + 60) = cos60 przy napisaniu cos60 sprawdzamy jaki będzie mieć znak ale patrzymy na sin150 czy jest dodatni 150^o to 2 ćwiartka a wiemy że sinus jest w niej dodatni dlatego ... = +cos60 kolejny: sin240 = sin(270 − 30) = − cos30 bo 240^o jest w III ćwiartce a w niej sinus jest ujemny dlatego jest tam minus przy większych przykładach takich jak: sin1140 albo cos1140 możemy sobie to zapisać w prostszej postaci odejmując 360^o ponieważ jest to okres sin i cos, analogicznie w tg i ctg tyle że tam można zmieniać o 180^o

	√3
sin1140 = sin780 = sin420 = sin60 =		i tutaj oczywiście można od razu sobie odjąć:
	2

sin1140 = sin60 tylko chciałem pokazać na jakiej to zasadzie działa w tej postaci jeśli tak odejmujemy to końcowy wynik w tym wypadku sin60 wiemy że jest dodatni Tak samo z tg i ctg tutaj żeby było szybciej też można 360 używać bo to po prostu 2 okresu przejdą więc różnicy to nie robi tg570 = tg390 = tg210 = tg30 No i niestety wzory redukcyjne, ale myślę że to łatwo zapamiętać np. cos(180 + α) = − cosα dlaczego − ? ano dlatego że 180 + α jest to 3 ćwiartka, a tam cos jest ujemny i musisz tak na to patrzeć, α jest ostry więc 0<α<90 tak samo: sin(−α) = −sinα bo −α to IV ćwiartka a w niej jedynie cos jest dodatni więc cos(−α)= cosα i Teraz przykład dla ciebie:

tg300 + sin765 − cos405
ctg405

mam nadzieję że w miarę zrozumiałeś

TOmek: Dzięki Tobie dowiedziałem sie ,ze wzory redukcyjne są tak zpokrewione z naszą kochaną tabelka czyli tak rozwiązując np: takie coś

	√3
sin120=sin(180−60)=sin60=
	2

także −> wielokrotność 90 parzysta więc brak zmiany sin−>cos −>180 jest to druga cwiartka sin jest + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	√3
sin120=sin(90+30)=cos30=
	2

także −>wielokrotnośc 90 nieparzysta także zmiana sin−>cos −>90 jest to pierwsza cwiartka także cos + zrozumiałem?xD teraz robię twój przykład

TOmek: nie nie spieprzyłem, czekaj ...

Godzio: zrozumiałeś tylko nie zawsze tak jest np. sin(3 * 90 + 30) ≠ cos30 bo 3 * 90 + 30 to czwarta ćwiartka, w której sinα < 0 więc będzie sin(3*90 + 30) = − cos30

TOmek: "sin150 = sin(90 + 60) = cos60 przy napisaniu cos60 sprawdzamy jaki będzie mieć znak ale patrzymy na sin150 czy jest dodatni 150 to 2 ćwiartka a wiemy że sinus jest w niej dodatni dlatego ... = +cos60 " −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	√3
sin120=sin(180−60)=sin60=
	2

−>krotnosc 90 parzysta brak zmiany sin−>cos −>120 to 2 cwiartka w niej sin jest dodatni[znak ustalamy dla funkcji wyjściowej] czyli sin120

	√3
sin120=sin(90+30)=+cos30=
	2

−>krotność 90 nieparzysta także sin−>cos −>znak ustalamy dla funkcji wyjściowej] czyli sin120 2 cwiartka sin dodatni CZAJE

Godzio: zgadza się

TOmek: robie przykład

Godzio: ok czekam

Godzio: dodatkowo możesz sobie zrobić zadanko stąd: https://matematykaszkolna.pl/strona/2019.html to ze wzorami redukcyjnymi, lepiej sobie to utrwalić

TOmek:

tg300 + sin765 − cos405
	=
ctg405

a)tg300=tg(180+120)= − tg120= − tg(120+60)= − ( − tg60 )=tg60=√3 *tg300 −> 4 cwiartka znak ujemny *tg120 −> 2 cwiartka znak ujemny

	√2
b)sin765=sin(2*720+45)=sin45=
	2

*korzystam ze wzoru sin(k*360+x)=sinx poniewaz jak 360 jest to okres *w przypadkach gdy k*360 −> brak zmiany znaków

	√2
c)cos405=cos(1*360+45)=cos45=
	2

d)ctg(405)=ctg(1*360+45)=ctg45=1

tg300 + sin765 − cos405		√2   √2   √3+ −   2   2
	=		=
ctg405		1

	√2		√2
√3+		−		=
	2		2

TOmek:

	√2		√2
√3+		−		=
	2		2

√3

Godzio: sprawdź jeszcze tg300

Godzio: tak jak pisałem przechodząc o okres danej funkcji znak się nie zmienia tg300 = tg(180 + 120) = tg120 = tg(180 − 60) = −tg60 − i dopiero tu się zmieni

TOmek: tg300=(180+120)= − tg120 *tg300 −> 4 cwiartka znak ujemny i własnie nie wiedziałem teraz robimy dalej tak: − tg120= − tg(180−60)= − ( − tg60)=tg 60 *musze szukac znaku dla tg 120? Czy w tym przypadku "−" ma tu jakies znaczenie cwiartka 2−> tg ujemny

Godzio: można też tak: tg300 −> przechodzimy o 2 okresy tg300 = tg(−60) i ze wzorów wiemy że to : tg(−60) = −tg60

TOmek: ale 360 to okres a tu jest 300

Godzio: lepiej jak masz taką postać koło 360, albo 270 to od razu ją zastosuj: tg300 = tg(360 − 60) = −tg60 = −√3 tg300 = (270 + 30) = −ctg30 = −√3

Godzio: okres tg to 180^o

Godzio: Dobra ja już muszę lecieć jak będziesz miał jakieś pytania to pisz, najwyżej później odpowiem podrzucę Ci też kilka zadanek

TOmek: Aha to to można robić tak szybko, pełna swoboda . Rozumiem mógłbys dać mi jakis nowe zadanko (https://matematykaszkolna.pl/strona/448.html −> juz zrobiłem) pozdrawiam

Godzio: To skoro bardzo chcesz:

4 * sin(−420) * cos690 * ctg315
cos480*sin540 + cos(−1080)

sin237 + cos2127 + 2sin37 * cos487
tg405 + ctg225

TOmek: Godzio?

TOmek: ok

Godzio: w pierwszym wynik powinien być 3 a w drugim 0 powodzenia ja już muszę lecieć, jeśli to już załapiesz to przejdź do równań trygonometrycznych bardziej zaawansowanych

TOmek:

4 * sin(−420) * cos690 * ctg315
	=
cos480*sin540 + cos(−1080)

	√3
a)sin(−420)= −sin420= − sin(1*360+60)= − sin60= −
	2

−>sin(−x)= − sin b)cos690=cos(1*360+330)=cos330

	√3
cos330=cos(360−30)=cos30=
	2

−>cos330 cwiartka 4 cos dodatki lub

	√3
cos330=cos(270+60)=sin60=
	2

−>cos330 cwiartka 4 cos dodatki −>wielokrtonosc 90 nieparzysta zmiana cos−>sin c)ctg315=ctg(360−45)= − ctg45= −1 −>ctg315 cwiartka 4 minus lub ctg315=ctg(270+45)= − tg 45= −1 −>ctg315 cwiartka 4 minus −>wielokrotnosc 90 nieparzysta zmiana ctg−>tg

	√3
d)cos480=cos(1*360+120)=cos120=cos(90+30)= − cos30= −
	2

−>cos120 cwiatka 2 cos ujemny e)sin540=sin(1*360+180)=sin180=sin(180+0)=sin0=0 f)cos(−1080)=cos1080=cos(3*360+0)=cos0=1 −>cos(−x)=cosx

4 * sin(−420) * cos690 * ctg315
	=
cos480*sin540 + cos(−1080)

√3   √3   4*(− )* *(−1)   2   2
√3   − *0+1   2

	√3		√3		√3		6
4*(−		)*		= − 2√3*		= −		= −3
	2		2		2		2

bzzz: zjadłeś jeden minus TOmek będzie 3.

TOmek: tylko gdzie trzeba poszukac

bzzz:

	√3		√3
na końcu jak już mnozyłeś miałeś 4*(−		)*		*(−1) dwa minusy dają plus a Ty to
	2		2

przepisałeś później bez tego −1

TOmek:

	√3		√3
4*(−		)*		*(−1)=3 xD
	2		2

TOmek: Zrobię teraz tyko to(coś nowego dla mnie) sin²37 + cos²127 + 2sin37 =

TOmek: sin²37 + cos²127 + 2sin37= a)sin²37=2sin37*cos37= −>sin²x=2sinx*cosx b)cos²127=cos²127−sin²127 −>cos²x=cos²x−sin²x Trudny przykład nawet jak na matur. rozszerzoną Takie pytanko na maturę roz. to wystarczy umiec sin2x i cos2x kąta ? Te tg3x tg2x to raczej sie nie zdazy Jak myslicie?

bzzz: TOmek lepiej zapamiętać takie wzory: sin(α + β) = sinαcosβ + sinβcosα cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ ponieważ z nich wyprowadzisz zarówno sin2x jak i sin44x

bzzz: ale w tym zadaniu masz sin²37 a to nie to samo co sin2*37

bzzz: to jest (sin37)² + (cos127)² + 2sin37

TOmek: to jak to zrobić?

TOmek: (sin37)² jak dalej?

bzzz: a kombinuj podpowiem, że to można np ze wzorów redukcyjnych 127 = ... + ....

TOmek: (sin37)²=sin1379 chyba nie? własnie mam problem z podnoszeniem trygonometrii do potęgi ... dzisiaj juz nie mam głowy do tego, prosze Cię bzz pokaz ten jeden jak zrobić do końca

bzzz: do kwadratu podnosi się wartość funkcjo\i nie argument funkcji

	1		1
np sin230o = (		)2 =
	2		4

wracając do Twojego zadania cos127 = cos(90 + 37) = −sin37 więc będzie sin³7 + (−sin37)² + 2sin37 = 2sin²37 + 2sin37

bzzz: ale jeśli to licznik z zadania Godzia to nie przepisałeś całego...

bzzz: a uwierz to robi ogroooomną różnicę...

bzzz: zresztą już Ci tłumacze konkretniej, w matematyce umówiono się zapewne, że zapis takiej postaci: sin²α to to samo co (sinα)² dlatego, że to pierwsze łatwiej i szybciej napisać, bo nie trzeba nawiasów wstawiać, nie można było tego zapisać jako sinα² ponieważ w zadaniu może być też aby policzyć sinus kwadratu kąta i byłaby niejednoznaczność zgadza się?

bzzz: u Godzia jest: sin²37 + cos²127 + 2sin37cos487 aa tu to prawie gołym okiem widać wzór skróconego mnożenia.

Eta: Policz: ze wzorów redukcyjnych cos127^o= cos( 90^o+37^o)=............ i cos487^o= cos( 360^o+ 127^o)= cos127^o i dalej już "z górki" wynik 0

Eta: zad/ rozwiąż równanie: tg110^o*tg200^o − 2cos2x= 0

help22: Potrzebuję rozwiązanie zadania, znam wynik ale chodzi mi o sam zapis. sin²(37°)+cos²(127°)+2*sin(37°)*cos(487°) ____________________________________________ tg(405°)+ctg(225°)

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/strona/430.html Grunt to zajrzec tutaj Nie ?

Kaja:

sin237o+cos2(90o+37o)+2sin37o*cos(360o+127o)
	=
tg(360o+45o)+ctg(180o+45o

	sin237o+(−sin237o)2+2sin37o*cos127o
=		=
	tg45o+ctg45o

	2sin237o+2sin37o*cos(90o+37o)		2sin237o+2sin37o*(−sin37o)
=		=		=0
	1+1		2