Godzio think: Godzio co Ty tak podejrzanie cicho siedzisz nie masz żadnych zadań, nad którymi się głowisz a jakoś nic nie chce z tego wyjść nie bądź sobek, podziel się

Eta: Też na to czekam

Godzio: No mam mam i skoro tak się palicie to wrzucę

Godzio:

	1
Uzasadnić prawdziwość nierówności n +		≥ √n(n+1) , n ≥ 1 Korzystając z niej oraz z
	2

zasady indukcji matematycznej udowodnić że:

2n n		4n
	≥
		2√n

udało mi się tylko udowodnić prawdziwość tej nierówności − śr. arytm ≥ śr. geo.

Godzio: I kolejne Stosując zasadę ind. mat. udowodnić prawdziwość dla n ≥ 1wzoru

	sin2nx
cosx + cos3x + ... + cos(2n − 1)x =		, sinx≠ 0
	2sinx

think: co tam Eta bo ja się robię senna mam tak przeważnie po przeczytaniu treści zadań od Godzia

Godzio: E no co to ma być to jeszcze jedno które mi nie wyszło ale teraz myślę że źle zrozumiałem treść Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zmniejszy się o 25%, jeśli wykreślimy z niej składniki o numerach parzystych niepodzielnych przez 4. Obliczyć sumę wszystkich wyrazów tego ciągu wiedząc, że jego drugi wyraz wynosi 1.

think: no ja oczywiście wezmę się za ciąg b₂ = 1

	1
b1 =
	q

1
	, 1, q, q2, q3,....
q

|q| < 1 skoro ciąg nieskończony ma sumę skończoną.

	1   q
S =
	1 − q

wyrzucamy z niego b₂,..., b_{4n + 2},....

	1		1
1 + q4 + q8 + .... =		=		S
	1 − q4		4

1		1
	=
1 − q4		4q(1−q)

1 − q⁴ = 4q(1−q) (1−q)(1 + q + q² + q³) − 4q(1−q) = 0 (1−q)(1 − 3q + q² + q³) = 0 (1−q)(1−q)(q² + 2q −1) = 0 Δ = 8 √Δ = 2√2

	−2 +/− 2√2
q1/2 =		= −1 + √2 ok v −1 − √2 odpada bo |q| < 1
	2

	1		1
S =		*		= 1,5√2 + 2
	−1 + √2		1−(−1 + √2)

Godzio: dobra zaraz se przeanalizuje

think: dobra moi mili, pora zmienić położenie na bardziej horyzontalne... dobrej nocy

Eta: Dobranoc

Godzio: trochę z opóźnieniem ale Miłej nocy

bzzz: drobiazg Godzio grunt to dobre intencje ehh dobrze się spało, ale rano ściągnęli z łóżka i już od godziny w pracy. A tak z innej beczki jak wypadła analiza zadanka? Zgadza się wszystko?

think: wiesz pokusiłabym się o pokombinowanie coś z tą indukcją, ale jestem już dzisiaj za bardzo schetana...

Godzio: , heh co do analizy tego zadania to wszystko rozumiem a błąd zrobiłem w tym że nie wiem czemu wywaliłem wszystkie parzyste ...

think: może małym druczkiem

think: hehehe nie mogę... jak ja lubię paradoksy, ironię i takie tam... A tu patrz jaka rewelka nawet Święty stracił cierpliwość, czyż to nie piękny paradoks?

think: dobra jak mnie już zaczyna czyjaś krzywda bawić, to lepiej iść spać na dziś wymiękam.

Godzio: oj tam oj tam nie przesadzaj, Dobranoc

Godzio: 2.

	sin2nx
cosx + cos3x + ... + cos(2n − 1)x =		n ≥ 1 sinx ≠ 0
	2sinx

dla n = 1

	sin2x		2sinxcosx
cosx =		=		= cosx
	2sinx		2sinx

Założenie:

	sin2kx
cosx + cos3x + ... + cos(2k − 1)x =
	2sinx

Teza:

	sin(2k+2)x
cosx + cos3x + ... + cos(2k − 1)x + cos(2k + 1)x=
	2sinx

Dowód:

	sin2(k+1)x
cosx + cos3x + ... + cos(2k − 1)x + cos(2k + 1)x=
	2sinx

	sin2kx		sin2kx
L =		+ cos(2k + 1)x =		+ cos2kxcosx − sin2kxsinx =
	2sinx		2sinx

	1		1 − 2sin2x
sin2kx(		− sinx) + cos2kxcosx = sin2kx *		+ cos2kxcosx =
	2sinx		2sinx

	cos2x		sin2kx * cos2x + cos2kx * sin2x
sin2kx *		+ cos2kxcosx =		=
	2sinx		2sinx

sin(2kx + 2x)		sin(2k + 2)x
	=		= P
2sinx		2sinx

Udało mi się ufff

Godzio: Teraz czekam na pomoc z tym pierwszym

Godzio: Mam pytanie co do tego zadania

	1
Uzasadnić prawdziwość nierówności: n +		≥ √n(n+1), n ≥ 1 Korzystając z niej i z zasady
	2

indukcji matematycznej udowodnić że:

2n n		4n
	≥
		2√n

dla n = 1

	4
2 ≥
	2

2 ≥ 2 Założenie:

2k k		4k
	≥
		2√k

Teza:

2k+2 k+1		4k+1
	≥
		2√k+1

Dowód:

2k+2 k+1		4k+1
	≥
		2√k+1

(2k+2)!		4k+1
	≥
(k+1)! * (k+1)!		2√k+1

	2k!(2k+1)*2(k+1)		4k+1
		≥
	k!(k+1)(k+1)!		2√k+1

2k!(2k+1)		4k+1
	≥
k!(k+1)!		2√k+1

2k!		4k * 4
	* (2k+1)≥
k!(k+1)!		2√k+1

2k k		4k * 4
	* (2k+1) ≥
		2√k+1

2k k		4k		4√k
	* (2k+1) ≥		*
		2√k		√k+1

2k k		2k+1		4k		2√k(k+1)
	*		≥		*
		2		2√k		k+1

2k k		1		4k		2
	* (k+		) ≥		* √k(k+1) *
		2		2√k		k+1

Czy na tym można zakończyć dowód i napisać że

2k k		4k
	≥
		2√k

	1
(k+		) ≥ √k(k+1)
	2

2
	− dla k ≥ 1 może przyjąć wartość 1 i mniejszą więc jedynie co to może zmniejszyć całe
k+1

wyrażenie czy może mam błąd ?

b.: nie bardzo rozumiem, gdzie zginely czynniki (k+1) z mianownika po lewej stronie (te z (k+1)! = (k+1)k!)

Godzio: No zgubiłem przez przypadek i tak samo ta 2 tez w tym momencie czyli poprawiając:

2k k		2(2k+1)		4k		4√k
	*		≥		*
		k+1		2√k		√k+1

2k k		2(2k+1)		4k		4√k(k+1)
	*		≥		*
		k+1		2√k		k+1

2k k		1		k + (k + 1)		4k		1
	*				≥		*		* √k(k+1)
		k+1		2		2√k		k+1

i teraz się wszystko zgadza Dzięki b.