trygonometria zagubiona: Wiedząc, że tg α=5 oblicz

sin α− cos α
	.
sin α+ cos α

Godzio: tgα = 5

sinα		5
	=
cosα		1

5cosα = sinα sin²α + cos²α = 1

	1
cos2α =
	26

	√26		√26
cosα =		v cosα = −
	26		26

	5√26		5√26
sinα =		v sinα = −
	26		26

4√26   26		2
	=
6√26   26		3

dla drugiego jeśli cosα,sinα<0 to wyjdzie tak samo

think: tgα = 5

sinα		5
	=
cosα		1

5cosα = sinα

sinα − cosα		5cosα − cosα		4cosα		4
	=		=		=		=
sinα + cosα		5cosα + cosα		6cosα		6

	2
	3

think: wystarczy za sinα w tym ułamku podstawić 5cosα i jush

Godzio: ano też prawda

Gustlik: Można jeszcze zrobić metodą geometryczną: narysować trójkąt prostokatny o przyprostokątnych a=5

	a		5
i b=1, bo tgα=		=		=5. Wtedy przeciwprostokątna:
	b		1

c²=a²+b² (tw. Pitagorasa) c²=5²+21² c²=25+1=26 /√ c=√26

	a		5		5√26
sinα=		=		=
	c		√26		26

	b		1		√26
cosα=		=		=
	c		√26		26

Dalej podstawiamy tak obliczony sinα i cosα do wyrażenia i liczymy. W tym przypadku prostsza jest metoda thinka, ale tu chciałem pokazać, jak można prosto obliczyć pozostałe funkcje tryg., gdy dany jest tangens (ctgα policzymy z odwrotności tgα). Nauczyciele stosują w tego typu zadaniach metodę opisaną tu przez Godzia, a o wiele prostsza (i chyba dlatego nie lubiana przez nauczycieli) jest metoda geometryczna.

Gustlik: Jeżeli nie ma założen, że kąt α jest ostry, to mozna narysować sobie w ukladzie współrzędnych prostą y=5x (korzystamy z własności, że współczynnik kierunkowy prostej a=tgα) i obrać na niej dwa punkty: P=(1, 5) i Q=(−1, −5) − można najpierw obrać te punkty, a potem poprowadzić przez nie prostą. Kat α może być kątem I i III ćwiartki − przez te ćwiartki przejdzie prosta. Następnie robimy obliczenia tak samo, jak w poście powyżej, tylko dla obu ćwiartek. Korzystamy tu ze wzorów:

	y
sinα=
	r

	x
cosα=
	r

	y
tgα=
	x

	x
ctgα=
	y

gdzie x, y − to współrzędne punktów P i Q, a r=√x²+y² to promień wodzący, czyli odległość punktów P i Q od początku układu współrzędnych. Wyniki obliczeń dla I ćwiartki będą takie same, jak w trójkącie prostokątnym, a dla III ćwiartki będą się róznić jedynie znakami, w trzeciej tangens i cotangens są dodatnie, a więc sinus i cosinus muszą być ujemne. Czyli

	5√26		√26
sinα=−		, cosα=−		/ Tak można poradzić sobie metodą geometryczną przy
	26		26

obliczaniu pozostałych funkcji, gdy dana jest jedna z nich, a nie ma założeń, że kąt α jest ostry.

Gustlik: Errata do pierwszego postu: Ma być: c²=5²+1², a nie 21² − wkradła się literówka, dalej bez zmian, obliczenia są dobre.

b.:

	5−1
a ja bym proponował podzielić licznik i mianownik przez cosα, wyjdzie
	5+1

b.: Gustlik napisal: ,,Nauczyciele stosują w tego typu zadaniach metodę opisaną tu przez Godzia, a o wiele prostsza (i chyba dlatego nie lubiana przez nauczycieli) jest metoda geometryczna. '' Nie wiem, co jest prostszego w tej metodzie, zamiast jedynki tryg. jest tw. Pitagorasa, a reszta na dobra sprawe bez zmian. Dodatkowo trzeba sobie obierac jakies punkty, co bez zalozenia, ze kat jest ostry robi sie klopotliwe (dwa przypadki, jak w Twoim poscie z 00:08)

Gustlik: Nie jest kłopotliwe, bo jest bardziej obrazowe i uczniowie lepiej to rozumieją. Na rysunku po prostu widać, a co jest trudnego w tw. Pitagorasa? To przerabia się już w gimnazjum.

	5		y
Przyjmujesz tgα=		=		, czyli możesz przyjąć y=5, x=1 lub y=−5, x=−1, stąd dwa
	1		x

punkty. Ja wolę obrazowe metody, niż męczenie się układami równań.*********

zagubiona: dzięki za pomoc