Liczby rzeczywiste - 2 zadania Kamil: 1.Wiedząc,że Ix−1I ≤ 3 oraz Iy+3I ≤ 5 , wyznacz największą i najmniejszą wartość iloczynu xy. Wyliczyłem ,że x∊<−2,4> ,a y∊<−8,2> , ale nie wiem co dalej zrobić ,żeby wyliczyć największą i najmniejszą wartość xy. 2.Uzasadnij ,że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność: a² +b² +4 ≥ 2(a+b−ab) liczę: a²+b²+4 −2a −2b +2ab ≥ 0 (a+b)² −2(a+b) +4 ≥ 0 i nie wiem co z tym zrobić , tyle co zauważyłem wzór ... Dzięki z góry za pomoc

Godzio: 1. |x − 1| ≤ 3 x − 1 ≤ 3 i x − 1 ≥ −3 x ≤ 4 i x ≥ −2 |y + 3| ≤ 5 y + 3 ≤ 5 i y + 3 ≥ − 5 y≤ 2 i y ≥ −8 x * y: − max: y = −8, x = −2 , x * y = 16 − min y = −8, x = 4 , x * y = − 32 2. a² + b² + 4 ≥ 2(a + b − ab) /*2 2a² + 2b² + 8 ≥ 4a + 4b − 4ab a² + b² + 4 − 4a − 4b + 2ab + a² + b² + 2ab + 4 ≥ 0 (2 − a − b)² + (a + b)² + 4 ≥ 0

Maciek: (2−a−b)² − co to za wzór? Zapisanie tego jak to uczyniłeś wystarczy na uzasadnienie?

Godzio: tak bo (2 − a − b)² i (a + b)² ≥ 0 a 4 > 0 więc suma tych wyrażeń jest na 100% > 0 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

think: można też: (a+b)² − 2(a+b) + 4 ≥ 0 a + b = t t² − 2t +4 ≥ 0 t² − 2t + 1 + 3 ≥ 0 (t − 1)² + 3 ≥ 0 (a + b −1)² + 3 ≥ 0 a to jest prawda, bo najmniejsza wartość przyjmowana przez wyrażenie podniesione do kwadratu to 0.

Basia: można też tak (a+b−1)² = a²+b²+1+2ab−2a−2b (a+b+1)*2+3 = a²+b²+4+2ab−2a−2b (a+b+1)*2+3>0 ⇒ a²+b²+4+2ab−2a−2b>0 ⇒ a²+b²+4>2a+2b−2ab ⇒ a²+b²+4>2(a+b−ab) ⇒ a²+b²+4≥2(a+b−ab) c.b.d.o.

aaaaaaa: 2a+4=2a

pigor: Kamil −u co do twojej nierówności to jest prostsza niż ... , bo bardzo dobrze zacząłeś i doszedłeś w minutę do (a+b)²−2(a+b) + 4 ≥0 , a dalej to ... pryszcz np. dalej (a+b)²−2 *1 *(a+b) + 1 + 3 ≥ 0 ⇔ (a+b−1)²+3 ≥ 0 i po ... wszystkim !