Wykaż Eta: Wykaż, że sin9^o+cos9^o= ¹₂√3+√5

Eta: Witaj Godzio Ja już idę do spania, a Ty popracuj nad zadankiem

Godzio: Wtedy już mnie nie było ale teraz się skuszę

Godzio:

	1
sin9 + cos9 =		√3 + √5 /2
	2

	1
1 + sin18 =		(3 + √5}
	4

	√5 − 1
sin18 =
	4

https://matematykaszkolna.pl/strona/2018.html to już wiadome

b.: to jeszcze jedno, podobne zadanie: wykaż, że

	1
sin9 + cos9 = −		√3 + √5
	2

Godzio:

	1
−		√3 + √5 = −√3 + √54 = −√√5 − 14 + 1 = − √sin18 + 1
	2

x = sin9 + cos9 x² = 1 + sin18 x = √1 + sin18 v x = −√1+sin18 nie jestem pewien czy to poprawne rozwiązanie ale myślę że tak :

AS:

	1
sin9 + cos9 =		√3 + √5
	2

sin²9 + cos²9= 1

	1
Oznaczam sin9 = x , cos9 = y ,		√3 + √5 = a
	2

Otrzymuję układ równań x + y = a x² + y² = 1 x² + 2*x*y + y² = a² x² + y² = 1 1 + 2x*y = a² x² + y² = 1 2*x*y = a² − 1 x² + y² = 1 Stronami dodaję/odejmuję x² + 2*x*y + y² = a² x² − 2*x*y + y² = 2 − a² (x + y)² = a² (x − y)² = 2 − a² Rozpatruję jedną kombinację x + y = a x − y = √2 − a² po dodaniu/odjęciu stronami

	1		1
x =		(a + √2 − a2) y =		(a − √2 − a2)
	2		2

	1		1
x + y =		(a + √2 − a2) +		(a − √2 − a2)
	2		2

czyli x + y = a c.n.d.

TOmek: ja pier...... xD

b.: hmm Godzio, to moje zadanie to był raczej żart popatrz jeszcze raz na to ,,moje zadanie'' i oryginalne, porównaj

Godzio: aha ... Myślałem że to po prostu może mieć 2 rozwiązania

b.: sin9 + cos9 jest dodatni, więc to ujemne rozwiązanie odpada, zwróć uwagę, że Twoje pierwsze rozwiązanie (24 lip 14:00) ,,działa'' równie dobrze dla tej ujemnej wartości −− a to oznacza, że zawiera lukę (należy w którymś momencie stwierdzić, że sin9 + cos9 > 0)

domino: Wartość sin18^o można wyznaczyć nieco inaczej niż podał Jakub sin3*18^o = sin54^o = cos36^o zatem: sin3*18^o= cos2*18^o sin3α= 3sinα− 4sin³α , cos2α= 1 −2sin²α zatem : 3sin18^o − 4sin³18^o= 1 − 2sin²18^o sin18^o= t, t€( 0,1) 4t³ +2t²−3t +1=0 W(1)=0 to: ( t−1)(4t²+2t −1)=0 t=1 −− odrzucamy lub 4t²+2t−1=0 Δ= 20 √Δ= 2√5

	−2−2√5
t=		<0 −−− odrzucamy
	8

v

	−2+2√5		√5−1
t=		=
	8		4

	√5−1
zatem : sin18o=
	4

domino: poprawiam chochlika: 4t³−2t² −3t+1=0