wakacyjne zadania grander: proszę bardzo jest ktoś chętny? 1. Z liczby dwucyfrowej a utworzono dwie liczby: pierwszą przez dopisanie cyfry 1 na początku, drugą przez dopisanie cyfry 1 na końcu. Uzasadnij, że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbę a jest podzielny przez 10. 2. Uzasadnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6. 3. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą. 4. Wykaż, że suma dwóch liczb dwucyfrowych różniących się kolejnością zapisu cyfr jest podzielna przez 11. 5. Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 3200, ich największy wspólny dzielnik jest równy 8. Co to za liczby ? 6. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 72, ich największy wspólny dzielnik jest równy 8. Co to za liczby ? 7. Uzasadnij, że każda liczba trzycyfrowa, której cyfra setek jest o 4 mniejsza od cyfry jedności, po przestawieniu jej cyfr w odwrotnym porządku daje liczbę o 396 większą od danej. 8. Udowodnij, że jeżeli w liczbie sześciocyfrowej cyfra pierwsza jest równa czwartej, druga piątej i trzecia szóstej licząc od rzędu najwyższego, to liczba jest podzielna przez 7, 11, 13. 9. Znajdź cztery najmniejsze kolejne liczby naturalne nieparzyste, których suma jest podzielna przez 15.

Jack: 4. ab = 10a +b ba = 10b +a ab+ba= 10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)

Jack: 3. jest na pewno podzielna przez 2 i jest większa od 2, więc nie jest pierwsza. Łatwo to pokazać.

Jack: 2. n∊N n(n+1)(n+2) Można przez indukcję albo rozpisując: liczba dzieli się przez 6, gdy dzielić się przez 2 i 3. Wśród trzech trzech kolejynch liczb N zawsze znajduje się przynajmniej jedna liczba parzysta, czyi podzielna przez 2. Jednocześnie, wśród trzech kolejnych liczb naturlanych istnieje dokładnie jedna która dzieli się przez 3. Zatem iloczyn trzech kolejynch liczb liczb N dzieli się przez 2 i 3 czyli dzieli się przez 6.

Jack: 6. niech a>b a+b=72 NWD(a,b)=8 ⇒ ∃m,n∊N 8*m=a ∧ 8*n=b ∧ NWD(m,n)=1 (względnie pierwsze) Stąd wynika że m>n oraz 8m+8n=72 m+n=9 Teraz szukamy dwóch takich liczb naturalnych względnie pierwszych których suma daje 9. Mamy 8 i 1, 7 i 2, 6 i 3, 5 i 4 (odpada). Pozostałe przemnażamy przez 8 i odczytujemy wyniki. Mamy więc takie możliwości: 64 i 8, 56 i 16, 40 i 32.

think: ad1 mamy dwie liczby: 1xy = 100 + xy i xy1 = 100x + 10y + 1 ich iloczyn to 1xy*xy1 = 1xy(1 + 10y + 100x) = 1xy + 10y*1xy + 100x*1xy pomniejszmy to teraz o xy 1xy + 10y*1xy + 100x*1xy − xy = 100 + xy + 10y*1xy + 100x*1xy − xy = 100 + 10y*1xy + 100x*1xy a tu już gołym okiem widać że wszystkie składniki sumy są podzielne przez 10.

Franek: 3) n, n+1, n+2 −−− kolejne liczby naturalne wśród nich jest: co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3 zatem n( n+1)(n+2) | 2*3= 6

think: ad 9 cztery kolejne liczby naturalne nieparzyste (n też jest naturalna) 2n − 1 2n + 1 2n + 3 2n + 5 dodajmy je wszystkie: 2n − 1 + 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 8n + 8 chcemy aby było podzielne przez 15

8(n+1)
	ponieważ NWD(8,15) = 1 ⇒ 15|n+1 i najmniejsze takie n = 14
15

czyli są to liczby 27, 29, 31, 33

think: ad 8 abcabc mamy liczbę takiej postaci. a*100000 + b*10000 + c*1000 + a*100 + b*10 + c = a*1000100 + b*10010 + c*1001 a to już możesz sprawdzić na kalkulatorze, że 7 v 11 v 13| 1000100 7 v 11 v 13| 10010 7 v 11 v 13| 1001

think: ad 7 mamy liczbę postaci abc, gdzie a = c − 4 w odwrotnym porządku otrzymamy cba {bez głupich skojarzeń z jakąś antykorupcją} c*100 + b*10 + c − 4 − ((c − 4)100 + b*10 +c) = 100c + 10b + c − 4 − 100c + 400 + 10b + c = 396

Franek: "CBA"

think: przy zadaniu 8 można się pokusić o wyprowadzenie cech podzielności przez 7, 11, 13. Przy czym najprzyjemniejsza cecha podzielności jest dla 11 1 (mod11) = 1 10 (mod11) = −1 100 (mod11) = 1 1000 (mod11) = −1 i tak dalej.... otrzymujemy w ten sposób sumę liczb 1*cyfra jedności − 1*cyfra dziesiątek + 1*cyfra setek − ... czyli liczba postaci abcabc przy zastosowaniu tej cechy podzielności daje nam coś takiego: c − b + a − c + b − a = 0 a 11|0 cdn.

think: Podzielność przez 7 1 (mod7) = 1 10 (mod7) = 3 100 (mod7) = 2 1000 (mod7) = −1 10000 (mod7) = −3 100000 (mod7) = −2 mamy zatem 1*cyfra jedności + 3*cyfra dziesiątek + 2*cyfra setek − 1*cyfra tysięcy − 3*cyfra dziesiątek tysięcy − 2*cyfra setek tysięcy + ... reszta będzie szła cyklicznie (1, 3, 2, −1, −3, −2) co dla naszej liczby abcabc daje 1*c + 3*b + 2*a − 1*c − 3*b − 2*a = 0 a 7|0 cdn. Może cechę podzielności przez 13 zostawię dla kogoś innego

bzzz: ajj ale gafa, tam w ad 7 powinno być 100100*a o jedno 0 więcej mi się przemyciło i można się ograniczyć z podzielnością tylko to 1001, bo pozostałe liczby są wielokrotnością tejże

Jack: 5. niech a>b (jest jasne że a≠b ze względu na poniższe dwie rzeczy) a*b=3200 NWD(a,b)=8 ab=NWD(a,b)*NWW(a,b) 3200=8*NWW(a,b) 400=NWW(a,b) oraz NWD(a,b)=8 ⇒ ∃n,m∊N 8m=a ∧ 8n=b ∧ NWD(m,n)=1 (względnie pierwsze) 8m*8n=3200 m*n=50 Dzielniki(50)={1,2,5,10,25,50} a. Wówczas m>n i n=50, m=1. Wtedy a=400, b=8. NWW(a,b)=400. b. n=25, m=2. Wtedy a=200, b=16. NWW(a,b)=400. c. n=10, m=5. Wtedy NWD(m,n)≠1. Stąd, szukane pary liczb to: 400 i 8 oraz 200 i 16.

Faizan: 32 ⁿ+4+9ⁿ+3+2ⁿ+4+2ⁿ+2= =32ⁿ⋅.... + 9ⁿ⋅.... + 2ⁿ⋅... + 2ⁿ⋅.... = = (....)ⁿ⋅..... + 9ⁿ⋅.... + 2ⁿ⋅ .... = = 9ⁿ⋅.... + 2ⁿ⋅.... = = 10( ....⋅ 9ⁿ+ .... ⋅ 2ⁿ) Pomożecie mi rozwiązać ? Potrzebuję do 20 Pomocy

mietek : a może sama spróbujesz to zrobić