Zadanko Godzio: Dla nudzących się Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi równość:

1		1		3
	+		≥
a(1 + b)		b(1 + c)		1 + abc

Dawałem je już ale nikt się nie skusił może teraz ?

Godzio: poprawka:

1		1		1		3
	+		+		≥
a(1 + b)		b(1 + c)		c(1 + a)		1 + abc

Godzio: podpowiem że będzie tu potrzebny fakt że: średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna którym Eta mnie męczyła

Jack: masakryczna ilość wyrazów mi wychodzi... trzeba się przez nią przedzierać?

Godzio: 6 wyrazów powinno być

Godzio: Rozwiązanie (jeśli dokładnie robione) powinno się zmieścić w 6 linijkach

Jack: hm to zmienia postać rzeczy − zastanowię się

Godzio: odświeżam

Jack: Ehh... prawdę mówiąc nie lubię takich zadań, gdzie trzeba robić masę paskudnych obliczeń, a inny sposób nie przychodzi mi tu do głowy

Godzio: Jutro o 18 napisze rozwiązanie jak nikt nie da rady a obliczeń naprawdę za dużo nie ma

Franek:

Franek: No to przed spaniem proste zadanko Wykaż,że dla a,b >0 spełniajacych warunek ; a²+b²= 7ab zachodzi:

	a+b		loga+logb
log		=
	3		2

Godzio:

	a+b
2log		= logab
	3

a2 + 2ab + b2
	= ab
9

9ab
	= ab
9

ab = ab

Franek: Dobranoc

Godzio: Dobranoc

Franek: Można też wyjść od danego warunku a²+b²= 7ab ( a+b)²= 9ab

	a+b
(		)2= ab
	3

	a+b
2log		= loga+logb
	3

	a+b		loga+logb
log		=
	3		2

c.n.u

Godzio: ano można

Basia: Najprostszy i najbardziej oczywisty jest tutaj dowód nie wprost

	a+b		loga+logb
log		≠		⇔
	3		2

	a+b
2log		≠log(ab) ⇔
	3

(a+b)2
	≠ab ⇔
9

a²+2ab+b²≠9ab ⇔ a²+b²≠7ab

Godzio: Basia co ty tu robisz o tej porze ? głowisz się może nad moim zadankiem ?

Basia: A Ty, co tu robiłeś o tej porze ?

Godzio: Nie mogłem zasnąć

Basia: Ja też, ale mnie więcej o 4:15 jednak mnie senność ogarnęła

bzzz: No Godzio ociupinę zazdroszczę ja mam ostatnio takie dziwne dni, że i na kamieniu bym mogła zasnąć. Chodząca senność

Godzio: nie ma czego siedze na kompie i sie nudze albo ewenturalnie w coś pogram

Basia: Polecam sudoku, ale tylko z miesięcznika "Rozrywka nie tylko sudoku". Tylko tam są na poziomie.

Basia: Na razie . Obowiązki wzywają.

bzzz: Basia, są ciekawe, ale z tym poziomem to bym nie przesadzała bo na poziome są dla mnie z wydawnictwa press media w książeczce z 4 poziomami trudności, ostatnio te trudne dały mi się we znaki a do piekielnie trudnych juz mi się odechciało zagladać...

bzzz: Miłego dnia Basiu, do później

bzzz: Godzio to zapraszam do mnie mam jeszcze jeden ogródek do oplewienia a czasu i rąk do roboty brakuje gwarantuję będziesz spał jak aniołek

Godzio: hah ile płacisz ?

bzzz: a co wizja wyspania się jak człowiek i nie nudzenia się nie jest wystarczającą zachętą

Godzio: hmmm w sumie to ja sie wysypiam bo ide w koncu spac i budze sie o tej 12 (moze nie jak czlowiek ale zawsze ) takze tylko ta nuda zostaje

Godzio: dobra póki co jade do babci po groszek ( z ogródka ) także żegnam

bzzz: Godzio jesteś inteligentnym człowiekiem na pewno o ile będziesz chciał znajdziesz sobie jakieś ciekawe zajęcie, więc skoro do tej pory tego nie zrobiłeś znaczy jedynie, że chcesz się nudzić

Basia: Te z Media Press z 4 poziomem trudności starczyły mi na jakieś 4 godziny. A nie jestem mistrzem Polski. Wprawdzie to było dwa albo trzy lata temu, może coś się zmieniło. Wtedy się do tego wydawnictwa skutecznie zniechęciłam i już nigdy go nie kupowałam.

bzzz: wydaje mi się, że ostatnio podnieśli poziom, bo kiedyś też je kupowałam i zaczynałam od razu od piekielnie trudnych i przeważnie udawało mi się je rozwiązać. Nie wydaje mi się, abym jakimś dziwnym sposobem nagle zapomniała o jakimś istotnym sposobie rozwiązywania, że nagle sobie z nimi nie radzę. Bo rozwiązanie typu, że skoro tu mogą być jakieś dwie liczby to podstawmy jedną z nich i sprawdźmy czy dojdziemy do sprzeczności czy nie, mnie nie interesuje ja lubię wstawiać jakąś liczbę kiedy wiem dlaczego tam ma być.

Godzio: Dobra nie będę przedłużać bo widzę że pomysłu brak więc: Rozwiązanie:

1 + abc		1 + abc		1 + abc
	+		+		≥ 3 / + 3
a(1 + b)		b(1 + c)		c(1 + a)

... + 1 + ... + 1 + ... + 1 ? 6

1 + abc + a + ab
	+ ... + ... ≥ 6
a(1 + b)

1+a		ab(1+c)		1+b		bc(a+1)		1+c
	+		+		+		+		+
a(1+b)		a(1+b)		b(1+c)		b(1+c)		c(1+a)

ac(b+1)
	≥ 6
c(1+a)

1+a		b(1+c)		1+b		c(a+1)		1+c		a(b+1)
	+		+		+		+		+		≥6
a(1+b)		1+b		b(1+c)		1+c		c(1+a)		1+a

całe wyrażenie dziele przez 6, iloczyn wyrazów po lewej stronie jest równy 1 więc otrzymuje średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna c.n.d.

Jack: niegłupie rozwiązanie...

Godzio: co prawda to prawda

think: grunt to skromność co?

Godzio: hah ale nie nikt nie powiedział że to moje rozwiązanie

Godzio: owszem myślałem myślałem i nie wymyśliłem, a jedynie czego nie było w rozwiązaniu to 2 i 4 linijki

think: no dobrze już, jednak jesteś gruntownie skromny

Jack:

	1
ja kombinowałem żeby rozbić prawą stroną na trzy ułamki		i każdy taki odjąć od
	1+abc

każdego po lewej stronie... Do czegoś tam doszedłem ale nie widziałem sensu dalszego rozpisywania...

Godzio: Myślałaś że jestem aż tak mądry hehe

think: Godzio, a dlaczego nie?

think: mogę to napisać nawet pogrubionym tekstem. Uważam Godziu, że jesteś mądry nie twierdzę, że jesteś nieomylny, ale zdaje się, że tacy już się rodzimy

think: nie wiem jak wy, ale ja czuję powołanie do wyciągnięcia się pod kołderką dobrej nocy wszystkim

Franek: Potwierdzam i daję zadanie : wykaż ,że:

	√6+√2
√3+√5 −√13 +√48=
	2

Franek: Miłych snów

Jack:

	√6+√2
√3+√5−√13+√48=
	2

	√2(√3+1)
√3+√5−√13+√48=		/2
	2

	2(4+3√2)
3+√...=
	4

3+√...=2+√3 / −3 √5−√13+√48=√3−1 /² 5−√13+√48=3−2√3+1 / −5 −√13+√48=−1−2√3 / : (−1) √13+√48=1+2√3 / ² 13+√48=12+4√3+1 /−13 √48=4√3 4√3=4√3

Godzio:

	√6 + √2		√2(√3 + 1)		√2		√2
P =		=		=		* (√3+1) =		*
	2		2		2		2

√(√3+1)² = √²₄ * (3 + 2√3 + 1) = √1,5 + √3 + 0,5 = √2 + √3 = √3 + √3 − 1 = √3 + √ 3 − 2√3 + 1 = √3 + √5 − 1 − 2√3 = √3 + √5 − √1 + 4√3 + 12 = p{3 + √6 − √13 + √48 c.n.d.

Godzio: chochlik ... = √3 + √5 − √13 + √48

Godzio: Teraz ze spokojnym sumieniem moge iść spać, dobranoc

Franek: Można też tak:

	√8+4√3
√3+√5−|1+√12|=√3+√4−2√3=√3+|1−√3|=√2+√3=		=
	2

	|√6+√2|		√6+√2
=		=
	2		2

c.n.d

Godzio: to taki "obcykany" sposób że wzory są pod pierwiastkiem

Franek: