Dowod nie wprost. Hashiri: Udowodnic NIE WPROST, ze jezeli iloczyn dwoch liczb calkowitych a i b jest liczba parzysta to a jest liczba parzysta lub b jest liczba parzysta. Wzor dowodu nie wprost jest taki chyba: (p ⇒ q) ⇔ (~q ⇒ ~p) Czyli zakladam, ze q jest falszywe i dowodze ze p jest tez falszywe. Czyli zalozenie: a=2x+1 lub b=2x+1 to ab= (2x+1)² nie wiem jak to dalej liczyc

Jack: "niewprost" dokładnie oznacza taki schemat: (p → q i ¬q ) ⇒ ¬p (czyli sprzecznośc z założeniem "p") p − załozenie twierdzenia q − teza ¬q − załozenie dowodu niewprost Ale dobrze to pisałeś: "Czyli zakladam, ze q jest falszywe i dowodze ze p jest tez falszywe."

Hashiri: Ale jak dalej udowodnic ta teze

Jack: Np. tak: 1. a*b=2*p (założenie twierdzenia) 2. ¬(2|a lub 2|b) (założenie dowodu niewprost) 3. 2|a*b z 1 (po prawej stronie liczba parz., to skoro jest równość, lewa też musi być parz.) 4. 2|a lub 2|b, z 3 (skoro 2 dzieli iloczyn, to dzieli tez któryś z czynników), sprzeczność z 2 − koniec dowodu.

Basia: spróbuję trochę jaśniej (nie obraź się Jack) Tw. dla a,b∊ℤ a*b parzysta ⇒ a parzysta lub b parzysta dowód: przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa czyli przypuśćmy, że ¬(a parzysta ∨ b parzysta) ⇔ a nieparzysta ∧ b nieparzysta ⇔ a=2k+1 ∧ b=2m+1 ⇒ a*b=(2k+1)(2m+1)=4km+2k+2m+1=2(2km+k+m)+1 ⇒ a*b nieparzysta udowodniłam twierdzenie: a nieparzysta ∧ b nieparzysta ⇒ a*b nieparzysta stąd wynika, że prawdziwe jest twierdzenie ¬(a*b nieparzysta) ⇒ ¬(a nieparzysta ∧ b nieparzysta) czyli udowodniłam a*b parzysta ⇒ a parzysta ∨ b parzysta −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dowód "nie wprost" opiera się na udowodnieniu tzw.kontrapozycji (p⇒q) ⇔ (¬q⇒¬p) jest tautologią (możesz to sobie udowodnić metodą 0−1) jeżeli więc mam udowodnić tw. p⇒q metodą nie wprost dowodzę prawdziwości jego kontrapozycji czyli tw. ¬q ⇒ ¬p inaczej mówiąc dowodzę, że z zaprzeczenia tezy wynika zaprzeczenie założenia czyli doprowadzam do sprzeczności

Basia: trochę łatwiejszy przykład udowodnij, że √2−1>0 dowód: przypuśćmy, że √2−1≤0 ⇔ √2≤1 ⇔ 2≤1 sprzeczność ⇒ przypuszczenie jest fałszywe ⇒ zaprzeczenie przypuszczenia jest prawdziwe ⇒ ¬(√2−1≤0) ⇒ √2−1>0

Jack: Rzeczywiście Twój dowód jest chyba nieco prostszy, wszelkie wątpliwości powinny ustąpić

Basia:

Pomóżcie: (a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)⇒a=d ∨ b=c

Pomóżcie: (a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)⇒a=d ∨ b=c

mmk: ac+ad+bc+bd= ab+ad+bc+cd ac−ab +bd−cd=0 a(c−b) −d(c−b)=0 (c−b)(a−d)=0 c−b=0 v a−d=0 c=b v a=d