zmienna losowa hanka: Witam, mam zadanko, którego nie mogę samodzielnie rozwiązać: chodzi o świecenie żarówki, która jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. X=N(10 000, 400) znajdź: a) prawdopodobieństwo, że czas świecenia będzie 9000 godz. b) prawdopodobieństwo, że czas świecenia skończy się przed 5000 godz. Za odp. będę bardzo wdzięczna...

hanka: Są jakieś szanse...:(

Jack: a) P(X=9000)=0 (rozumiem, że chodzi o czas świecenia równy dokładnie 9000 godzin)

	9000−10000		−1000
b) P(X<5000)=P(X<		)=P(X<		)=P(X<−2,5)=1−F(2,5)=1−0,9938=0,0062
	400		400

b.: b) niedobrze z oznaczeniami, X nie ma rozkladu N(0,1), poza tym jest 9000 zamiast 5000 X ma rozklad N(10000, 4000) czyli Z= (X−10000) / √400 ma rozklad N(0,1) (to moze zalezec od oznaczen: co oznacza to 400?) stad X = √400Z + 10000 zatem P(X<5000) = P(√400Z + 10000 < 5000} = P(Z < (5000 − 10000) / √400) = P( Z < − 5000/√400 ) = ... (dokoncz, odczytaj z tablic: http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_normalnego )

Jack: faktycznie, to już jest rozkład normalny... dzieki na zwrócenie uwagi.

b.: biorac pod uwage, co wychodzi, wydaje mi sie jednak, ze to 400 oznacza odchylenie stand. a nie wariancje, czyli tak jak w rozwiazaniu Jacka (albo w moim rozwiazaniu trzeba usunac pierwiastki)

Jack: Teraz jak myślę to wydaje mi się, że prawdą jest że nie mam rozkładu N(0,1) ale ja przecież standaryzuję do tego rozkładu. A mogę tak zrobić, ponieważ wiem, że mam do czynienia z rozkladem normalnym. Z drugim przykładzie oczywiśćie zrobiłem błąd wpisując 9000 zamiast 5000.

b.: to prawda, robisz dobrze jesli chodzi o wynik, ale w Twoim rozwiazaniu X oznacza na poczatku zmienna o rozkladzie N(10000,400), a potem zmienna o rozkladzie N(0,1) −− to nie jest najszczesliwsze, lepiej wprowadzic inna litere na ta druga zmienna

Jack: to fakt, to z pośpiechu − na zajęciach oznaczaliśmy X_s jako zmienna po standaryzacji.

hanka: Bardzo dziękuję za pomoc Czy w zadaniu b) będzie wynik: 0,8944 ?

Jack: a czy odchylenie nie powinno być czasem równe σ=4000, a nie 400 w N(10000,400)?

Jack: dla σ=4000 wyjdzie F(−1,25)=0,89435≈0,8944, jak napisałaś.

	5000−10000
czyli P(X<5000)=P(Xs<		)=P(Xs<−5000/4000)=1−F(1,25)=1−0,8944=0,1056
	4000

Jesli σ=4000, to popraw też punkt a).

hanka: jest dokładnie tak samo jak w zadaniu a) ( 10 000, 400)

Jack: Hmm brzydko wychodzi w b)... Czy pytając się o wynik 0,8944 patrzyłaś może na odpowiedzi?

hanka: wyliczyłam na podstawie zadanka 1−ego, znając życie pokręciłam wszystko... dostałam jeszcze info, że: X* = x−m −−−−−−−−− σ m = 10 000 σ = 400 to jakaś masakra jest....:(

Jack: no właśnie wszystko przez to małe odchylenie... Jesli σ=400 to na którymś kroku trzeba liczyć F(12,5)... A o to ciężko − zwykle argument dystrybuanty jest mały, w okolicach 1 lub 2.

hanka: Właśnie też mi tak wyszło, sądząc, że jest to nie możliwe, wpadłam na genialny pomysł, żeby podzielić po skrócenie 10 000 i 5000 tys (10) , tak podejrzałam u kolegi przy innym zadaniu, pewnie źle...

Basia: 1. Zapis N(10000,400) odpowiada zapisowi N(μ,σ²) czyli σ²=400 czyli σ=20 2. F(x_s) = ¹₂[1+erf(x_s/√2) ]

	X−10000
P(X=9000) = P(X−10000=9000−10000) = P(		=U{−1000}{√400)=
	√400

	X−10000		−1000
P(		=		= P(Xs=−50)=F(−50)=
	20		20

1		−50		1		−50√2
	[1+erf		] =		[1+erf		]=
2		√2		2		2

1		1		1
	[1+erf(−25√2) ≈		[1+erf(−25*1,4)=		[1+erf(−26)
2		2		2

erf(−26) trzeba odczytać z tablic (są takie np. tu http://fatcat.ftj.agh.edu.pl/~bold/statystyka/erf.html) erf(−26)=−1 i koniec P(X=9000)=0 3.

	X−10000
P(X<5000) = P(X−10000<5000−10000) = P(		<U{−5000}{√400)=
	√400

	X−10000		−5000
P(		<		= P(Xs<−250)
	20		20

i koniec zabawy, tego się nie liczy, to się odczytuje z tablic (muszą być bardzo obszerne)

hanka: Bardzo dziękuję Wam wszystkim za pomoc

Jack: eh... jeszcze pierwiastek... dawno tego nie robiłem