log kamilox: 2^log[3]5 − 5^log[3]2 jak to rozwiazac. wiem ze wyjdzie 0 ale w jaki sposob

Radosław 2: No choćby tak: 2^{log₃ 5}−5^{log₃ 2} <=> 2^{log₃ 5}−−2^{log₂ 5* log₃ 2}<=>2^{log₃ 5}− 2^{log₃ 2log₂ 5} i dalej już wiesz ?

Basia: wydaje mi się, że raczej tak: 2^log₃5−5^log₃2 = (3^log₃2)^log₃5−(3^log₃5)^log₃2=............

Radosław 2: i to i to prowadzi do celu,ale nawiasem mówiąc wykazując tożsamość przekształca się tylko jedną stronę

Basia: Niekoniecznie, dowodzi się, że L=P i tyle. Poza tym z treści wynika, że należy dowieść, że 2^log₃5−5^log₃2=0 co oczywiście jest tożsame z udowodnieniem, że 2^log₂5=5^log₃2

Basia: P.S. A tożsamości (szczególnie trygonometryczne, chociaż nie tylko) często dowodzi się tak: pokazujemy, że L=S pokazujemy, że P=S na mocy tego, że relacja równości jest symetryczna i przechodnia mamy: L=S ∧ S=P ⇒ L=P c.b.d.o.

kamilox: niby wychodzi ale skad sie wziało to 3, jak basia napisała.

Basia: z definicji logarytmu log₃5=a ⇔ 3^a=5 ⇔ 5=3^log₃5 log₃2=b ⇔ 3^b=2 ⇔ 2=3^log₃2

kamilox: chyba rozumiem. to chyba jeszcze wynika ze wzoru a^log[a]x=x. dobrze mysle ?

Basia: tak, a ten wzór też wynika z definicji logarytmu i dowodzi się go tak samo log_ax=y ⇔ a^y=x ⇔ a^log_ax=x

kamilox: tak ale jeszcze jedno w tym zadaniu wiadac ze wyjdzie 0 bo sa takie same 2 wyrażenia. ale jak np: pomnozyc log[3]5 * log[3]2. jak sie to robi

Basia: nie ma takiej potrzeby nie znamy jak dotąd żadnej zasady, która umożliwiałaby sensowne mnożenie logarytmów czasem można pokombinować, ale akurat nie tutaj

kamilox: no dobra