Sigma Hashiri: Mam pytanie: Czy ktos zna moze jakies cwiczenia na sigme i ew. duze Pi bo nierozumiem na niej dzialan. To znaczy generalnie wiem na czym to polega ale mam problemy z przeksztalceniami. Rownież nie wiem jak na tym forum sie dodaje ineksy do sigmy ( bo znak widze na pasku). Bardzo prosze o szybka pomoc.

Hashiri: Oczywiscie chodzi mi o zrodla w INTERNECIE.

Jack: jak po prostu używam "twardej spacji", czyli "−" (myślnik + Shitf) i "ptaszka" (kryje sie pod cyfrą 6). Zdaje się że Bogdan kiedyś podał link do fajnej strony na Sigmy... Szukałem w zakładkach (bo zdawało mi się że ją zapisałem) ale nie znalazłem...

Jack: Znalazłem: http://www.medianauka.pl/sigma

Hashiri: wiedze z tej stronki to jednak umiem (dzieki za nia bo fajna ), lecz mam taki przyklad Mamy wzor: ∑_k=1ⁿ (a_k+1 − a_k) = a_n+1 − a₁ (zmienna n jest oczywiscie nad Sigma tylko nie wiem jak to zapisac )

	1
Biorąc ak = −		, otrzymujemy:
	k

	1		n
∑k=1n		=
	k(k+1)		n+1

	n
Nie wiem z tego jak wychodzi to po prawej		bo po lewej stronie rownania to poprostu
	n+1

podstawilem ciag do wzoru sigmy i mi wyszlo. Ale to po prawej to nie mam pojecia. Prosze o pomoc.

b.:

	1
a ile to jest an+1−a1, gdy ak=−		?
	k

Hashiri: wlasnie nie widze tego Prosilbym o rozpisanie tego rachunku. Z gory dziekuje tej osobie

bingo:

	1
jeżeli ak= −
	k

to:

	1
a1= −		= −1
	1

	1
an+1= −
	n+1

	−1		−1 +n+1		n
an+1− a1=		+1 =		=
	n+1		n+1		n+1

Hashiri: dzieki ucze sie tych sigm dopiero, w takim razie dlaczego tam jest a_k i a_n jak to jest to samo ? troche to dziwne dla mnie jest.

Hashiri: Basiu prosze o pomoc, a szczegolnie potrzebuje wyjasnienia. Jak sie ma ciag a_k, do wzoru sigmy i do ciagu a_n bo nie moge tego zalapac Licze bardzo na Ciebie, bo wiem ze kazdemu swietnie pomagasz .

Basia: nie bardzo rozumiem o co chodzi ∑ jest znakiem sumy to tylko symbol pozwalający na szybsze i krótsze zapisanie sumy ∑_i=1ⁿ=a₁+a₂+.....+a_n ∑_i=1¹⁰ = a₁+a₂+...._a10 ∑_i=1¹²⁵ = a₁+a₂+...._a125 itd.

Hashiri:

	1
ok, czyli w tym przykladzie co podalem po podstawieniu ak = −		wychodzi
	k

1
	i rozumiem ze jest to wzor kazdego skladnika sumy czyli z tego
k(k+1)

	1
a1 bedzie dla k=1 czyli		to dlaczego jest −1 ?
	2

w zwiazku z tym nie rozumiem tego a_k

Basia: muszę poczytać od poczatku; chwila

Basia: ∑_k=1ⁿ(a_n+1−a_n)= (a₂−a₁)+(a₃−a₂)+(a₄−a₃)+...............+(a_n−a_n−1)+(a_n+1−a_n} wszystko ,oprócz −a₁ i a_n+1 , się zredukuje = a_n+1−a₁ dla a_n = −¹_n masz zatem ∑_k=1ⁿ (−¹_k+1+¹_k) = −¹_n+1+¹₁ = 1−¹_n+1 = ⁿ⁺¹⁻¹_n+1=ⁿ_n+1

Basia: oczywiście

	1		1		−k+k+1		1
−		+		=		=
	k+1		k		k(k+1)		k(k+1)

i stąd

	1		n
∑k=1n		=
	k(k+1)		n+1

Hashiri: to jaki jest sens pisania w zadaniu a_k i a_n jak to to samo

Basia:

	1
ak= −
	k

	1
a1= −		= −1
	1

1
	to nie jest ak
k(k+1)

1
	= ak+1−ak
k(k+1)

1		1
	=		= a2−a1
2		1*2

Basia: hm........... niby to samo, ale........... muszę się zastanowić jak Ci to wytłumaczyć nie ma tego problemu, gdy znamy ostatni wskaźnik sumy wtedy możemy sobie napisać a₁+a₂+.......+a_n+.....+a₉₉ = ∑_n=1⁹⁹ a_n ale jeśli tym ostatnim wskaźnikiem jest n to muszę napisać a₁+a₂+..........+a_k+..........+a_n=∑_k=1ⁿ i stąd dodatkowy wskaźnik k rozumiesz chyba, że zapis a₁+a₂+........+a_n+.........+a_n = ∑_n=1ⁿ a_n jest pozbawiony sensu

Hashiri: tak teraz juz lapie

	1
cos mi sie uswiadomilo ze to		to ak nie wiem dlaczego
	k(k+1)

Narazie rozumiem to wiec wielkie dzieki Zobaczymy co bedzie dalej

Hashiri: A teraz robie sobie nowy przyklad i mam cos takiego :

	d
∑k=1n kd = (n+1)*n*
	2

Dodając (a − d) do kazdego skladnika sumy znajdujacej sie po lewej stronie rownosci, a do wyrazenia znajdujacego sie po prawej stronie n*(a − d), jakie rachunki wyjda

	(n+1)n		n(n−1)
Wiem , ze po prawej bedzie n(a−d) +		d = na +		d
	2		2

ale po lewej to nie wiem jak to wyliczyc

Basia: tak naprawdę w tym przykładzie zostało udowodnione, że

	n		1
∑k=1n bk =		gdzie bk =
	n+1		k(k+1)

do przeprowadzenia dowodu posłużono się innym ciągiem

	1
ak = −
	k

zauważając, że b_k = a_k+1−a_k

Basia: ∑_k=1ⁿ (kd) = d+2d+3d+4d+....+nd = d(1+2+3+....+n) = d*∑_k=1ⁿ k no a ta suma 1+2+3+....+n to już chyba coś znajomego

Basia: jeżeli jakiś czynnik występuje w każdym wyrazie sumy i nie zależy od k można go w normalnym zapisie wyłączyć przed nawias, a w zapisie z ∑ przed sigmę

Hashiri:

	(2k − 1)3
Ile to bedzie jak za ak podstawie ak =
	24

(a_k+1 − a_k) = bo mi wychodzi

	1
(ak+1 − ak) = k2 +		a w odpowiedziach ma ze k2
	12

Basiu sprawdzisz to

Basia: sprawdzę

Basia: zgadza się, ale nie bardzo wiem co chcesz w ten sposób policzyć może napisz pełną treść

Basia: zgadza się tzn. Ty policzyłeś dobrze, dlatego proszę o pełną treść, bo może tam chodzi o coś nieco innego

Hashiri: ok juz podaje

Basia: gdzieś robimy oboje błąd; sprawdzam jeszcze raz

Hashiri: Zadanie:

	(2k − 1)3
Podstawiajac w ∑k=1n (ak+1 − ak) = an+1 − a1, ak =		,
	24

wyprowadź wzor dla ∑_k=1ⁿ k² . Dokladnie takie jest polecenie.

Basia:

	(2k−1)3
ak=
	24

	(2k+1)3
ak+1=
	24

	(2k+1)3−(2k−1)3
ak+1−ak =
	24

a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) stąd (2k+1)³−(2k−1)³ = [(2k+1)−(2k−1)]*[(2k+1)²+(2k+1)(2k−1)+(2k−1)²]= [2k+1−2k+1]*[4k²+4k+1+4k²−1+4k²−4k+1]= 2*(12k²+1} nie robimy błędu; jest tak jak policzyłeś

Hashiri: Grrrr.... nie lubie jak sa bledy w ksiazkach Uczysz sie, ledwo co rozumiesz, a tu bledy jeszcze musisz wylapywac

Basia: no i dobrze; rzeczywiście chodzi o coś innego a_k+1−a_k = k²+¹₁₂ ∑_k=1ⁿ (a_k+1−a_k) = a_n+1−a_n

	1		(2n+1)3		(2−1)3
∑k=1n (k2+		) =		−
	12		24		24

	1		(2n+1)3		1
∑k=1n k2+∑k=1n		=		−
	12		24		24

	1		8n3+12n2+6n+1−1
∑k=1n k2+n*		=
	12		24

	8n3+12n2+6n		n
∑k=1n k2=		+
	24		12

	8n3+12n2+6n+2n
∑k=1n k2=
	24

	8n3+12n2+8n
∑k=1n k2=
	24

	4n(2n2+3n+2)
∑k=1n k2=
	24

	n(2n2+3n+2)
∑k=1n k2=
	6

i chyba tyle jeżeli się nie pomyliłam

Basia: pomyliłam się

	n		n
po prawej nie +		tylko −
	12		12

trzeba poprawić wynik będzie

n(2n2+3n+1)
6

2n²+3n+1=2(n+1)(n+¹₂)=(n+1)(2n+1) ostatecznie

	n(n+1)(2n+1)
∑.........=
	6

Basia: teraz jest na pewno dobrze mam tu dowodzik tego twierdzenia w innej wersji (indukcja) napisali: wykaż, że

	n(n+1)(2n+1)
12+22+............+n2 =
	6

Lewa to ∑_k=1ⁿ k² Prawa to co wyliczyłam czyli jest dobrze

Basia: Wyjaśnienia do poprzedniego: ∑_k=1,....,n(a_k+b_k) = a₁+b₁+a₁+b₂+............+a_n+b_n= (a₁+a₂+........._an)+(b₁+b₂+............b_n) = ∑_k=1,....,n a_k + ∑_k=1,....,n b_k c − jakaś stała ∑_k=1,....,n c = c+c+............+c = n*c

Hashiri:

	1
dlaczego w tym poscie z godz. 16:16 w piatej rownosci jest n*		a nie
	12

	1
k*
	12

Przeciez ten ulamek jest tyle razy ile k² −ow ?

Basia: bo: c stała ∑_k=1,2......n c = c(dla k=1)+c(dla k=2)+.................+c(dla k=n) to ile razy ta stała w tej sumie występuje ?

Basia: ∑_k=1,2,...,n(k²+¹₁₂)= 1²+¹₁₂+2²+¹₁₂+3²+¹₁₂+.............+n²+¹₁₂ to ile razy ten ułamek ¹₁₂ w tej sumie występuje ?

Basia: jeżeli jeszcze nie widzisz to rozpisz sobie np. ∑_k=1,2,...,5 (k²+¹₁₂) ∑_k=1,2,...,6 (k²+¹₁₂) ∑_k=1,2,...,10 (k²+¹₁₂)