czworokąt bingo: Wykaż,że jeżeli a,b,c,d są długościami boków czworokąta to zachodzi

a		b		c		d
	+		+		+		<2
b+c+d		a+c+d		a+b+d		a+b+c

think: olśniło mnie skoro mamy czworokąt o bokach długości a,b,c,d to istotną informacją jest, że a < b + c + d b < a + c + d c < a + b + d d < a + b +c teraz rozważmy co jest większe ( przy założeniu x,y,z>0 oraz x<z)

x + y		x
z + y		z

(x + y)z (z + y)x xz + yz xz + xy yz > xy (y nie ma znaczenia, a z>x) Skoro tak to:

a		b		c		d
	+		+		+		<
b + c + d		a + c + d		a + b + d		a + b + c

a + a		b + b		2c		2d
	+		+		+
a + b + c + d		a + b + c + d		a + b + c + d		a + b + c + d

	2a + 2b + 2c + 2d
=		= 2
	a + b + c +d

bingo:

bingo: Wykaż,że jeżeli x,y,z € C spełniają warunek: x²+y²+z²= 2010 to co najmniej jedna z liczb x, y,z jest podzielna przez 4

bingo: think....... pozdrów ode mnie Lucynę

think: przekaże ale coś mi się zdaje, że ona poprosi o pozdrowienie Ety...

Jack: Może tak: Niech x' reszta z dzielenia x przez 4 oraz y' reszta z dzielenie y przez 4 i podobnie z'. Wówczas x'²+y'²+z'²=2 (mod 4) Zatem któraś z liczb musi być równa 0 (bo w sumie te trzy liczby całkowite ale już dodatnie muszą dać 2). To oznacza, że któraś z liczb x', y', z' musi być równa 0. To z kolei oznacza, że odpowiednia liczba (x, y lub z) musi być podzielna przez 4.

Jack: nie dodałem jeszcze że x',y',z' ∊{0,1,2,3}

think: Eta dobre było, ale widać mało bo się skończyło

bingo: Hmmm....... nie znam Ety Kto to taki?

think: też jej nie znam, ale poszłabym z nią na piwo

bingo:

think: ale pora na mnie, pewnie jutro jak mnie będą budzić zaczną mi krążyć po głowie skądinąd zdrożne myśli aby was porzucić, bo znowu oczy na zapałkach ehh budzikom śmierć normalnie.

bingo: Miłych snów

Jack: wycofuje się z tego co napisałem wyżej − z "dowodu".

Jack: dobranoc

bingo: Hmmm..... no to dobranoc

Basia: 2010 parzysta ⇒ (x²,y²,z² parzyste) lub (x²,y² nieparzyste i z² parzysta) (inne wersje drugiego można pominąć, będzie identycznie) 1. same parzyste x=2k y=2m z=2n 4k²+4m²+4n²=2010 niemożliwe bo 2010 nie jest podzielna przez 4 2. dwie nieparzyste i jedna parzysta x=2k+1 y=2m+1 z=2n (2k+1)²+(2m+1)²+4n²=2010 4k²+4k+1+4m*2+4m+1+4n²=2010 2(2k²+2k+2m²+2m+2n²+1)=2010 2k²+2k+2m²+2m+2n²+1=1005 2k²+2k+2m²+2m+2n²=1004 k²+k+m²+m+n²=52 czyli nie mogą być same nieparzyste ⇒ przynajmniej jedna jest parzysta ⇒ 1. k parzysta, reszta nieparzysta niemożliwe bo p+p+n+n+n=n 2. m parzysta, reszta nieparzysta niemożliwe bo n+n+p+p+n=n 3. n parzysta, reszta nieparzysta możliwe i wtedy z jest podzielna przez 4 4. k,m parzyste i n nieparzysta niemożliwe bo p+p+p+p+n=n 5. k,n parzyste i m nieparzysta możliwe i wtedy z jest podzielna przez 4 6.m,n parzyste i k nieparzysta jak wyżej 7. wszystkie parzyste jak wyżej oczywiście wykorzystuję fakt, że parzysta²=parzysta nieparzysta²=nieparzysta