Zadanko Godzio: Dobrać parametry a > 0 i b ∊ R tak aby funkcja { (a+1) + ax − x² dla x ≤ a f(x) = {

	b
{		dla x > a
	x2−1

była ciągła i miałą pochodną w puncie x = a.

Jack:

	b
1. limx→a− (a+1) + ax − x2 = limx→a+		= f(a) (ciągłość w x=a)
	x2−1

	f(x)−f(a)
2.f+'(x)=limx→a+
	x−a

	f(x)−f(a)
f−'(x)=limx→a−
	x−a

f₊'(x)=f₋'(x) (różniczkowalność)

Jack:

	f(x0+h)−f(x0)
2. łatwiej liczyć jednak z: f'± (x)=limh→0±
	h

Godzio: średnio to rozumiem możesz jakoś jaśniej ?

Jack:

	−2ab
2. wyszło mi tak: f−'(x)=−a oraz f+'(x)=
	(a2−1)2

Jack: 1. warunek mówi o ciagłości funkcji w punkcie x=a. 2. warunek mówi o różniczkowalności funkcji w punkcie x=a. Zacznę od tego drugiego. Żeby funkcja była różniczkowalna (czyli miała pochodną) w puncie, pochodne obustronne muszą być sobie równe. Każdy z tych pochodnych (prawo i lewostronną) liczymy ze wzoru który podałem. Jednak gdy liczymy f₋'(a) to za f(x) we wzorze stawiamy tą funkcją która jest okreslona dla x<a (bo idziemy od wartości mniejszych niż a), analogicznie dla f₊'(a) bierzemy funkcję określoną dla x>a

Godzio: Dobra to spróbuje to zrobić i sprawdzisz jak coś

Jack: Ok

Godzio:

	f(a + h) − f(a)		b		b
f'+(x) = limh−>0		=		−		}{h} =
	h		(a+h)2 − 1		a2−1

b(a2−1) − b(a2 + 2ah + h2) + b   ( a2 + 2ah + h2 − 1)(a2 − 1)
	=
h

ba2 − b − ba2 − 2abh + h2 + b
h( a2 + 2ah + h2 − 1)(a2 − 1)

−2abh + h2
h( a2 + 2ah + h2 − 1)(a2 − 1)

−2ab
(a2−1)2

Dobra to mi wyszło to dalej już sobie poradzę dzięki !

Jack: wyszło mi a=3 i b=32 (o ile się nie machnąłem)...

Godzio: dobrze Ci wyszło

Jack: wygląda ładnie

Jack: Skoro mi dobrze wyszło, to i Tobie wyjdzie