Cosinus kąta Adrian: Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu do sumy dlugosci podstaw jest równy 1,5.

Basia: ^a+b+2c_a+b=1,5 a+b+2c=1,5a+1,5b 2c = 0,5a+0,5b c = ¹₄(a+b) cosα=^x_c x=^a−b₂

	a−b2		a−b		4		2(a−b)
cosα=		=		*		=
	a+b4		2		a+b		a+b

	b2
cosβ=
	r

	b
cosβ=
	2r

b = 2r*cosβ α+α+β=180 β=180−2α cosβ=cos(180−2α)=−cos2α b = −2r*cos2α

	2(2r+2r*cos2α)
cosα=		=
	2r−2r*cos2α

4r(1+cos2α)
	=
2r(1−cos2α)

2(1+cos2α)
1−cos2α

cosα(1−cos2α)=2(1+cos2α) cosα(1−(2cos²α−1))=2(1+2cos²α−1) cosα(1−2cos²α+1)=4cos²α α jest kątem ostrym ⇒ cosα≠0 i można podzielić obustronnie przez cosα 2−2cos²α=4cosα /:2 1−cos²α=2cosα cos²α+2cosα−1=0 t=cosα t²+2t−1=0 Δ=4+4=8 √Δ=2√2

	−2−2√2
t1=		=−1−√2
	2

	−2+2√2
t2=		=−1+√2
	2

stąd cosα= −1+√2 (t₁ odpada bo cosinus kąta ostrego nie może być ujemny) może ktoś wymyśli prostszy sposób

Lucyna: no ja się cykałam, ale w takim razie tak: a=2r

	1
c=		(a+b)
	4

	2(a−b)
cosα =
	a+b

	a−b
c2 = h2 + (		)2
	2

	b		b2
r2 = h2 + (		)2 ⇒ h2 = r2 −
	2		4

	1		b2		a−b
(		(a+b))2 = r2 −		+ (		)2
	4		4		2

	1		b2		2r−b
(		(2r+b))2 = r2 −		+ (		)2 {pomijam przepisywanie obliczeń, bo nie
	4		4		2

zastosowałam tam nic poza redukcją wyrazów podobnych} b² + 20br −28r² = 0 Δ = 512r² √Δ = 16r√2 b = r(8√2 − 10) {jest tylko to jedno rozw., bo ujemne odrzucamy cos kąta ostrego jest > 0}

	2(a−b)		2(2r−r(8√2 − 10))		3−2√2
cosα =		=		=		*
	a+b		2r + r(8√2 − 10)		√2 − 1

	√2+1
		= √2 − 1
	√2 + 1