Zbadać przebieg i zmienność funkcji Godzio: Mam takie zadanko do sprawdzenia: Zbadać przebieg i zmienność funkcji

	x2 + 4
f(x) =
	(x−2)2

D = R− {2} Asymptoty:

	x2 + 4
lim2+		= + ∞
	(x−2)2

	x2 + 4
lim2−		= + ∞
	(x−2)2

→ i tutaj właśnie nie wiem jaka to będzie ? przypadkiem obustronna pionowa x = 2 ?

	x2 + 4		4   1 +   x2
limx−>±∞		= limx−>±∞		= 1
	(x−2)2		4   4   1 − +   x   x2

→pozioma y = 1

	x2 + 4   (x−2)2		x3 + 4x
limx−>+∞		= limx−>+∞		=
	x		x2 − 4x + 4

	4   1 +   x2
limx−>+∞ x *		= ∞ * 1 = ∞
	4   4   1 − +   x   x2

czyli brak ukośnych

	x2 + 4		(x−2)2 + 4x		4x − 8 + 8
f(x) =		=		= 1 +		=
	(x−2)2		(x−2)2		(x−2)2

	4		8
1 +		+
	x−2		(x−2)2

	−4		−8 * (2x − 4)		−4		−16x + 24)
f'(x) =		+		=		+
	(x−2)2		(x−2)4		(x−2)2		(x−2)4

f'(x) = 0 −4*(x−2)² −16x + 24 = 0 −4x² + 16x − 8 − 16x + 24 = 0 −4x² + 16 = 0 x² = 4 x = 2 − nie należy do D v x = − 2

	8		1
f(−2) =		=
	16		2

f'(x) < 0 x² > 4 x > 2 v x < − 2 − funkcja malejąca (−∞,−2), (2,∞) rosnąca x ∊ (−2,2)

	−4		−16x + 24)
f''(x) = (		+		)' , (x−2)4 = x4 − 8x3 + 24x2 − 16x + 16
	(x−2)2		(x−2)4

	4(2x −4)		−16(x−2)4 + (16x − 24)(4x3 − 8x2 + 24x − 16)
f''(x) =		+
	(x−2)4		(x−2)8

I tutaj narazie stoje bo nie wiem czy dobrze policzyłem 2 pochodną

Jack: − asympt. pozioma (obustronna) ok − asmypt. ukosna w zasadzie istnieje − jej szczególnym przypadkiem jest asypt. pozioma − przy drugiej pochodnej (której nie sprawdziłem) możesz liczyć jeszcze tak: (x−2)⁴ '=4(x−2)³

Godzio: Później żeby wyliczyć punkt przegięcia, wklęsłość i wypukłość to nieźle trzeba się natrudzić ale zaraz zobaczę co mi z tego wyjdzie

Godzio: już znalazłem błąd (x − 2)⁴ = x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16 Zaraz sprawdze czy coś ładniej wyjdzie

Godzio: w ogóle to ja widze że ja namieszałem ostro w tej pochodnej

Godzio:

	4(2x − 4)		−16(x−2)4 + (16x−24)(4x3 − 24x2 + 48x − 32)
f''(x) =		+
	(x−2)4		(x−2)8

f''(x) = 0 (8x − 16)(x−2)⁴ − 16(x−2)⁴ + (16x−24)(4x³ − 24x² + 48x − 32) = 0 (x−2)⁴(8x − 32) + 8(2x − 3) * 4(x−2)³ (x−2)³( (x−2)(x−4) + 4(2x − 3) ) = 0 (x−2)³(x² − 6x + 8 + 8x − 12) = 0 (x−2)³(x² + 2x − 4) = 0 Nie mam pojęcia gdzie robie błąd powinno wyjść −4

Jack: porównaj może z tym http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+%28x%5E2%2B4%29%2F%28x-2%29%5E2%29+%29%27%27

Godzio: Dobra dzięki udało mi się znaleźć błąd w pierwszej pochodnej 4 * 8 = 32 ... a ja dałem 24 dalej już wszystko wyszło

Jack: uff... Ogólnie dużo liczenia...

Godzio: No niestety Teraz idę sobie chwile pograć i tam za jakiś czas wracam i mam sporo zadanek do omówienia z Wami

Jack:

Bogdan: 1. Nie mówimy: "zbadać przebieg i zmienność funkcji", ale "zbadać przebieg zmienności funkcji". 2. Czy zdanie: "asmypt. ukośna w zasadzie istnieje − jej szczególnym przypadkiem jest asympt. pozioma" pozwala na zbudowanie na podstawie analogicznego rozumowania stwierdzenia: "asmypt. ukośna w zasadzie istnieje − jej szczególnym przypadkiem jest asympt. pionowa" albo "asmypt. pionowa w zasadzie istnieje − jej szczególnym przypadkiem jest asymptota pozioma" Proszę potraktować moją ostatnią uwagę z przymrużeniem oka

Jack: Myślę, że znając postać ogólną asympt. ukośnej można sobie samemu odpowiedzieć na to pytanie Niemniej, ciekawa uwaga.

Godzio: Co do 1 uwagi to pomyliłem się szybko czytając

Basia: Godziu przy liczeniu kierunków asymptotycznych ukośnych masz błąd

x2+4   (x−2)2
	=
x

x2+4
	=
x(x−2)2

x2+4
	=
x(x2−4x+4)

x2+4
	=
x3−4x2+4x

1   4   + x   x3
	→ 0
4   4   1− +   x   x2

Godzio: rzeczywiście pomyliłem się Zaraz dam kolejne zadanko tego typu i sprawdzicie

Godzio: Teraz taka funkcja:

	3x−3
f(x) = √
	5−x

5 − x > 0 3x − 3 ≥ 0 x < 5 x ≥ 1 D = <1,5) hmm to tutaj liczy się granice na krańcach dziedziny ?

Godzio: właściwie to tylko dla 5

Basia: 1. Ta dziedzina przypadkiem jest dobra, ale sposób w jaki do tego doszedłeś niekompletny, no chyba, że nie chciało Ci się pisać. Teoretycznie może być też 3x−3≤0 i 5−x<0 oczywiście z tego wychodzi sprzeczność 2. lim_x→1⁺ f(x)=f(1)=√⁰₄=0 lim_x→5⁻ f(x) = +∞ bo

	1
x→5− ⇒ x→5 i x<5 ⇒ x−5→0 i 5−x>0 ⇒		→+∞
	5−x

3x−3 → 3*5−3=12 stąd:

3x−3
	→ 12*(+∞)=+∞
5−x

no to i √^3x−3_5−x →+∞

Basia: 5−x →0 (x−5 też, ale nas interesuje 5−x)

Godzio: x = 5 −> √15 − 3 = √12 > 0 x → 5⁻ => x < 5 3x − 3 > 0

	3x−3
limx−>5− √		= + ∞
	5−x

I to właściwie wszystko co można policzyć lewostronna pionowa x = 5 zgadza się ?

Godzio: a trzeba liczyć w ogóle lim_x−>1⁺ ?

Basia: Właściwie nie.

Godzio: no dobra kapuje

Basia: Tak zgadza się, tylko lewostronna pionowa x=5

Godzio: dobra zaraz napisze resztę i jeśli będziesz mogła to sprawdzisz

Godzio:

	3x−3		1		(3(5−x) + 3x−3
f'(x) = (√		)' =		*		=
	5−x		3x−3   2√   5−x		(5−x)2

1		2x + 12
	*		=
3x−3   2√   5−x		(5−x)2

	5−x		x + 6
√		*
	3x−3		(5−x)2

f'(x) > 0

	5−x		x + 6
√		*		> 0
	3x−3		(5−x)2

√5−x(x+6) > 0 /² (5−x)(x+6)² > 0 rosnąca: x ∊<1,5)

	5−x		x + 6
f''(x) = (√		*		)' =
	3x−3		(5−x)2

	5−x		x+6		5−x		x + 6
(√		)'*		+ √		* (		)' =
	3x−3		(5−x)2		3x−3		(5−x)2

1		3x−3		−(3x−3) − 3(5−x)		x+6
	*√		*		*		+
2		5−x		(3x−3)2		(5−x)2

	5−x		5−x + x + 6
√				=
	3x−3		(5−x)4

	3x−3		−6		x+6		5−x		11
√		*		*		+ √		*
	5−x		(3x−3)2		(5−x)2		3x−3		(5−x)4

Jestem teraz ciekaw czy to jest dobrze takie obliczenia że cho cho

Basia: sprawdzę troszkę później ok. ?

Godzio: ok

Godzio: ale już widze że coś źle także poszukam błędu bo punkt przegięcia wyszedł mi inaczej niż w odp.

Godzio: Narazie nie sprawdzaj bo zrobie troche łatwiej i będzie chyba dobrze

Godzio: Jednak nie wyszło, narazie to sobie chyba dam spokój z takimi przykładami, albo będę je robić na spokojnie później bo takie obliczenia mi się narobiły kilometrowe że szkoda mówić ale dziwnym trafem zawsze wychodzi bardzo ładna delta Δ = 14400 √Δ = 120 a wcześniej Δ = 8464 √Δ = 92

Basia: pomyliłeś się

	6√5−x
f'(x) =
	√3x−3*(5−x)2

a to wyrażenie jest stale dodatnie

Godzio: O ! Do tego właśnie doszedłem tylko później z tego pochodną policzyć chciałem I to jest wynik:

	−18		1
(		* 6√3x−3(5−x)2−6√5−x(		(5−x)2+√3x−3(2x − 10)) /
	√5−x		2√3x−3

((3x−3)(5−x)⁴)

Basia: koszmary z tego wychodzą, policzę to jeszcze raz spokojnie czy tam w ogóle jest jakiś punkt przegięcia ? bo zdaje mi się, że nie, ale mogę się mylić

Godzio: (2,1) powinien wyjść

Basia:

	6
f'(x) =
	(3x−3)1/2*(5−x)3/2

może z tej postaci będzie łatwiej

Basia:

	−6		1
f"(x) =		*[		(3x−3)−1/2*3*(5−x)3/2+
	(3x−3)(5−x)3		2

3
	(5−x)1/2*(−1)*(3x−3)1/2]=
2

−9(5−x)1/2		(5−x)
	*[		−(3x−3)1/2]=
(3x−3)(5−x)3		(3x−3)1/2

−9√5−x		(5−x)−(3x−3)
	*		=
(3x−3)(5−x)3		(3x−3)1/2

−9√5−x		−4x+8
	*		=0 ⇔ −4x+8=0
(3x−3)(5−x)3		(3x−3)1/2

znak f"(x) zależy od znaku

−4x+8
	bo reszta jest stale dodatnia
(3x−3)(5−x)3

czyli praktycznie od znaku −4(x−2)*3*(x−1)(5−x)= −12(x−1)(x−2)(5−x) z tym sobie dasz radę

Basia: ale i tak koszmarne

Godzio: No i to bardzo jak dla mnie Dzięki wielki Basiu

Godzio: Dzięki wielkie*