Rozłóz na czynniki TOmek: nie wiem jak 2 rozłożyc a) 81−(2x+1)² by wyszło −4(x−4)(x+5) b)(4x²−9)(x+1)+3(2x+3) by wyszlo x(2x+3)(2x−1) nie wiem jak to wyprowadzic z góry dziekuje

Basia: ad.a różnica kwadratów a²−b²=(a−b)(a+b) 81−(2x+1)²= 9²−(2x+1)²= [9−(2x+1)]*[9+(2x+1)]= [9−2x−1]*[9+2x+1]= (8−2x)(10+2x)= −2(−4+x)*2(5+x)= −4(x−4)(x+5) spróbuj podobnie z (b) skorzystaj z wzoru na różnicę kwadratów dla 4x²−9 potem wyłącz wspólny czynnik przed nawias jeżeli nie wyjdzie, napisz jak liczysz, spróbujemy poprawić

TOmek: (4x⁴−72x²+81)(x+1)+3(2x+3)= 4x⁵−72x³+81x+4x⁴−72x²+81+6x+9= 4x⁵+4x⁴−72x³−72x²+6x+90= chyba gdzieś się juz walnąłem

TOmek: strzasznie trudne to jest musze zrobić ze 100 przykładow zeby wreszcie załapac to

Magda: Tomku, walnąłeś się na samym początku tak jak powiedziała Basia, spróbuj rozłożyć 4x²−9. Musisz podstawić coś za a i za b we wzorze (a−b)(a+b)=a²−b². Twoje a² to 4x², a b² to 9. Ogólnie w tego typu zadankach właśnie trzeba się doszukiwać, czy czegoś nie da się rozłożyć, skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia itp. Samo wymnażanie niestety zazwyczaj do niczego nie doprowadzi

TOmek: dopiero zaczynam wielomiany, jeszcze to ogarne Szykujcie sie na zadanka bo przez nastepne 2 dni bede potrzebowal troche pomocy

Basia: no to jak w końcu trzeba rozłożyć to 4x²−9 ? wiesz ?

TOmek: tak, wiem zrobiłem pare przykładów i wiem jak juz kombinować (2x−3)(2x+3) (4x²−9)(x+1)+3(2x+3)= (2x−3)(2x+3)(x+1)+3(2x+3)= co dalej ta "3" co z nią zrobic ...

Basia: teraz wyłącz przed nawias (2x+3), bo jest w obu sumach

Basia: bo jest w obu składnikach sumy miałam napisać

TOmek: a co zrobic z "3" (2x−3)(2x+3)(x+1)+ 3(2x+3) (2x+3)[(2x−3)(x+1)+3]=

Basia: = (2x+3)*[(2x−3)(x+1)+3] wykonujemy działania w nawiasie kwadratowym po wykonaniu okaże się, że znów można z niego coś wyłączyć

TOmek: (2x+3)*(2x²+2x−3x−3+3) (2x+3)*(2x²−x)= (2x+3)(√2x²−√x)(√2x²+√x) −tak tez mozna zapisac? ale sprobuje zrobic tak jak jest w odp. (2x+3)*(2x²−x)= 1*(2x+3)*x(2x−1) = x*1(2x+3)(2x−1)= x(2x+3)(2x−1)

TOmek: dojechalismy ^^ dziekuje pięknie za pomoc

Basia: nie bardzo, bo x nie musi być ≥0, a dla x<0 √x nie istnieje

TOmek: aha,ok rozumiem

Lucyna: no to mam takie zadanie dla Ciebie TOmek: Wykaż, że jeśli wielomiany W,G określone wzorami: W(x) = x² + bx + c i G(x) = x² + b₁a + c₁ mają jeden wspólny pierwiastek różny od zera oraz W(0) = G(0), to wielomiany te są równe. skoro przerabiasz wielomiany

Lucyna: i drugie Wykaż, że dla żadnej liczby naturalnej n ≠ 0 liczba W(n) = n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n +1 nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Basia: G(x)=x²+b₁x+c₁ wiem, że to zwykła literówka, ale początkującego TOmka może zmylić

Lucyna: jak najbardziej masz rację Basiu, nie wiem jak mi to a tam wskoczyło, ale jest czarno na beżowym czy jaki to tam kolorek ma podświetlenie

TOmek: ok spróbuje zrobic, hmmm

TOmek: Pierwszy raz robie zadanie z taką treścia oraz W(0) = G(0) W(0)=0² + b0 + c=c G(0)=0² + b1a + c1=b1a+c1 x>0 W(x) = x² + bx + c=x(x+b)+c G(x) = x² + b1a + c1= trudne −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− n ≠ 0 liczba W(n) = n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n +1 w(1)=1+2+2+2+1=8 w(2)=16+16+8+4+1=32+8+5=45 omg, to są latwe zadania? na razie przerabiam rozklad na czynniki, potrafie juz dodawac mnozyc odejmowac, jutro zaczne rowniania i pózniej dzielenie, ale takich zadan nie ogarniam

TOmek: naprowadzicie mnie jakoś na te 2 zadanka? Bo patrząc na waszą wiedzę o matematyce wiem ,ze jest to bardzo wartosciowe zadanko, które mnie czegos wiecej nauczy

Lucyna: TOmek Basia już mnie poprawiała g(x) = x² + b₁x + c₁

Lucyna: także G(0) = c₁

TOmek: W(0)=02 + b0 + c=c G(0)=02 + b1a + c1=b1a+c1=c czyli dobrze c1=c to chyba to samo? jak zrobić numerek na dole przy liczbie?

Lucyna: co do drugiego to hmm na przykładowych liczbach raczej tego bym nie robiła. podpowiedź do drugiego jest taka (x² + ax + b)² = x⁴ +....

Lucyna: b 1 bez spacji

Lucyna: _

Lucyna: z podkreśleniem dolnym

TOmek: Czyli jak mam w treści podane "mają jeden wspólny pierwiastek wielomany x i y" to trzeba je pomnozyć? (wywnioskowałem to po twojej wskazówce) dobrze? (x² + ax + b)²=x⁴+a²x²+b²+2x²ax+2x²b+2axb no to teraz trzeba sie pobawić

Lucyna: Tomek, ale wskazówka była do drugiego zadania nie do pierwszego

Lucyna: w pierwszym najważeniejsze to jest to, że c = c₁ teraz istnieje jeden wspólny pierwiastek np x₁, co znaczy, że jakaś liczba jest pierwiastkiem wielomianu?

TOmek: nie wiem słaby jestem na razie z wielomianow co do drugiego zadanka to jak z n⁴ + 2n³ + 2n² + 2ⁿ +1 nagle mamy liczyć (x² + ax + b)²?

Lucyna: ano bo przecież szukamy liczby naturalnej podniesionej do kwadratu

Lucyna: a jeśli takiej nie znajdziemy to będzie koniec zadania

TOmek: ale dlaczego (x² + ax + b) a nie np: (x+c)² albo (ma być liczba naturalna podniesiona do potegi) no to np: x>0 x² ? jutro na nowo się pobawie, idę kimać dobranoc

Lucyna: ano właśnie po to aby otrzymać wielomian 4 stopnia, i skorzystać z tego, że dwa wielomiany są równe gdy mają takie same współczynniki.... no widzisz, ale jeśli n,a, b są naturalne to i x² + ax + b też jest liczbą naturalną

Lucyna: dobrej nocy niech Ci się przyśni rozwiązanie

Lucyna: co tam TOmek poddajesz się?

Basia: Moim zdaniem istnieje znacznie prostszy sposób rozwiązania zadania nr.2

Lucyna: Basiu to podpowiedz mu coś, ja mu podpowiadałam tylko tak w jaki sposób sama bym rozwiązała to zadanie

Lucyna: a zerkałaś Basiu może na proponowany przeze mnie sposób rozwiązania tego zadania z 9 osobami w kolejce, które zamieniają się miejscami? Bo interesuje mnie Twoja opinia przez skórę czuję, że jest tam jakiś błąd.

Basia: Zerkałam, jest tam wpis

Basia: n⁴+2n³+2n²+2n+1 = n⁴+2n³+n²+n²+2n+1= n²(n²+2n+1)+(n²+2n+1)= (n²+2n+1)(n²+1) = (n+1)²(n²+1) czyli n²+1 też musiałby być kwadratem liczby całkowitej przypuśćmy, że tak jest n²+1=k² k²−n²=1 (k−n)(k+n)=1 stąd (k−n=1 i k+n=1) lub (k−n=−1 i k+n=−1) ⇔ (k=n+1 i k=1−n) lub (k=n−1 i k=−n−1) ⇔ n+1=1−n lub n−1=−n−1 ⇔ 2n=0 lub 2n=0 ⇔ n=0 czyli jedyną liczbą spełniającą założenie jest n=0 ⇒ dla każdego innego n≠0 liczba n⁴+2n³+2n²+2n+1 nie będzie kwadratem żadnej liczby całkowitej

Basia: od tego miejsca można jeszcze prościej (k−n=1 i k+n=1) lub (k−n=−1 i k+n=−1) ⇔ k−n=k+n ⇔ 2n=0 ⇔ n=0

Basia: błąd formalny: (k−n=1 i k+n=1) lub (k−n=−1 i k+n=−1) ⇒ k−n=k+n ⇔ 2n=0 ⇔ n=0

TOmek: trudne zadanko, to jeszcze nie moj poziom Dzisiaj zrobiłem kolejne 20 przykładow rozkladu na czynniki i miałem problem tylko z 3, prosze o pomoc a) x³−3x−2= x³−x−2x−2= x(x²−1)−2(x+1)= x(x−1)(x+1)−2(x+1)= (x+1)[x(x+1)−2]= (x+1)(x²+x−2) − czy to jest źle zrobione? w odpowiedziach jest (x+1)²(x−2) b)(x−2)²−(2x−1)²= [(x−2)+(2x−1)]*[(x−2)−(2x−1)]= i nie wiem jak dalej c)27−27a+9a²−a³ −totalnie nie wiem jak zacząć

Jack: a) z nawiasu możesz jeszcze deltę policzyć i wtedy wyjdzie tak, jak w odpowiedziach. b) możesz z tego najpierw skorzystać: a²−b²=(a−b)(a+b) c) wyląda jak wzór skróconego mnożenia...

TOmek: aha lol 27=3³ i wtedy będzie (3−1)³

	3		1
a w odpowiedziach mam −8(x−		)(x−		)
	2		4

zaraz nad b sie pomęcze

Jack: b) nie do czytałem... Teraz opuść nawiasy "( )" i poupraszczaj wyrażenia.

TOmek: (3−a)³ ***

Jack: na pewno masz tak w odpowiedziach? Przecież masz tam wyraz "a", którego brakuje w odp....

TOmek: [(x−2)+(2x−1)]*[(x−2)−(2x−1)]= (x−2+2x−1)(x−2−2x+1)= (3x−3)(−x−1)= 3(x−1)(−x−1) w odp. mam −3(x+1)(x−1)

TOmek: pewnie błąd w ksiązce, dobrze ,ze zauwazyles <dziwne>

Jack: jak wyciągniesz z ostatniego nawiasu −1, będzie tak jak w odpowiedziach. Chociaż teraz jest oczywiście dobrze.

	3
Poza tym jak wymnozysz te −8(x−		)... to wyraz wolny wyjdzie −3, a Ty masz 27... to pewnie
	2

do innego zadania odpowiedź

TOmek: dziekuje za pomoc

Basia: dlaczego błąd ? (3−a)³ = 3³−3*3²*a+3*3*a²−a³ = 27−27a+9a²−a³ czy ja czegoś nie rozumiem ?

Jack:

	3
w odpowiedziach do tego zadania było −8(x−		)(...) a to nijak tu nie pasuje.
	2

TOmek: Takie jedno pytanie do równań x³+1=0 trzeba rozwiązac w nastepujacy sposob x³+1³=0 (x+1)(x²−x+1)=0 bla,bla,bla.. a tak sobie myśle dlaczego nie można rozwiązac x³+1=0 x³=−1 i wtedy x₁=−³√1

Godzio: oczywiście że tak można

Jack: Godzio ma rację − można, tylko skąd pewność, że jakiegoś rozwiązania nie przegapisz w ten sposób...

Jack: (chodzi mi o ogólniejszą sytuację − niekonieczne uwagę tyczącą się tylko tego przykładu)

TOmek: rozumiem Cię Jack, ponownie dzięki

Lucyna: Godzio wróciłeś ehh wszystko co dobre szybko się kończy mam nadzieję, że miło spędziłeś czas

Lucyna: Ja jednak przy rozwiązaniu zadania 2 zastosowałabym dowód nie wprost. TOmek, mamy udowodnić, że kwadrat żadnej liczby całkowitej nie da nam n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n + 1 przy czym n∊N zatem nie wprost załóżmy, że istnieje taka liczba która podniesiona do kwadratu da nam wielomian czwartego stopnia a to będzie n² + an + b, chcemy aby n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n + 1 = (n² + an + b)² n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n + 1 = n⁴ + 2an³ + (a² + 2b)n² + 2abn + b² teraz dwa wielomiany są równe, gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe, czyli: 2 = 2a ⇒ a = 1 a² + 2b = 2 2ab = 2 b² = 1

	1
12 + 2b = 2 ⇒ b =
	2

2*1*¹₂ ≠ 2 i sprzeczność, zatem nie istnieje taka liczba podniesiona do kwadratu, która da nam nasz wielomian i finito

Godzio: jak mam rozumieć "wszystko co dobre szybko się kończy" − że wróciłem do forum ? − czy że byłem na wsi i nie powiem co robiłem bo nie wiem czy uznałabyś to za "dobre"

Lucyna: hehehe, no wiesz piszesz do kogoś kto mieszka prawie, że na wsi bardziej miałam na myśli, że Tobie szybko zleciało, bo miałam nadzieję, że jednak Ci się tam podobało

Lucyna: zresztą Godzio ja z tych co nie kręcą nosem na czyjąś pracę, zasadniczo raczej za "dobre" nie uznaję jedynie lenistwa totalnego, nie chwilowego, bo do chwilowego każdy ma prawo.

Godzio: Wiesz co, tamte rejony już mi się całkowicie znudziły, jeździłem tam właściwie przez całe dzieciństwo a teraz (w tym wieku) to już jest nudne może w sierpniu gdzieś pojadę ale zobaczę czy się wyrobię A na tej wsi to ja tam bardziej pracowałem niż odpoczywałem

Lucyna: Nie wiem jak dla Ciebie, ale praca fizyczna dla mnie zawsze była relaksem po pracy umysłowej także na krótką metę, bo nie twierdzę, że na stałe, takie nie wymagające zacięcia umysłowego zajęcie pozwala mi nieźle odpocząć

Godzio: No czasami powiem szczerzę że dopiero wczoraj mnie to wkręciło

Lucyna: oj biedny Ty, już zaczęło się podobać a tu trzeba wracać no to przyznaj się co robiłeś, chyba nie sianokosy

TOmek: ale temacik sie ciągnie to mój nowy rekord co do 2 zadanka, to wybaczcie, ale chce robić po kolei tematy bo wiem ,ze to skutkuje, jak będę kończył wielomany zacznę sie bawic zadaniami typu "hard" pozdrawiam

Lucyna: ok, po prostu nie wzięłam pod uwagę, że dla Ciebie to zadania ekstremalne. Zresztą rozumiem również, bo ja też lubię robić według ustalonej wcześniej kolejności także daj znać jak dojdziesz już na ten etap hardkorowy, to podeślę kolejne zadanka ze zbioru

TOmek: etap hardkorowy xD chodzi mi ,zeby na sam koniec robić zadanka która sie zdarzaja na maturce rozszerzonej, bo tylko mi o nią chodzi, wiem ,ze prawie zawsze jest dzielnie wielomiany z resztą, wiec to będę musiał bardzo szlifować

Bogdan: Sugeruję ostrożność w posługiwaniu się stwierdzeniem: "oczywiście, że tak można". W zadaniu: "rozwiąż równanie x³ + 1 = 0" przy braku określonych założeń nie można postąpić tak: x³ = −1 ⇒ x = −³√1.

Basia: Bogdan ma rację. Zastanówcie się dlaczego.

Basia: Ty Lucyno dowodzisz, że wielomian n⁴+2n³+2n²+2n+1 nie może być kwadratem innego wielomianu. Ja dowodzę, że wyrażenie n⁴+2n³+2n²+2n+1 nie może być kwadratem liczby całkowitej. To jest różnica. Postawię proste pytanie: czy 2n+1 może być kwadratem liczby całkowitej ? oczywiście może np. dla n=4 czy wielomian 2n+1 może być kwadratem innego wielomianu ? oczywiście nie może

Jack: ok, czemu tak nie można zrobić?

Jack: (to pyt. do zastrzeżenia Bogdana)

Basia: bo może mieć rozwiązania zespolone (sądzę, że o to Bogdanowi chodziło, gdy pisał "przy braku określonych założeń")

Jack: Ok... Tomek nie wygląda jakby operował l. zespolonymi, dlatego o tym nie pomyślałem. W każdym razie nawet gdybyśmy szukali rozwiązań w l. zespolonych, to ten krok byłby ok.

Basia: no nie x³+1=(x+1)(x²−x+1) i w liczbach zespolonych x²−x+1 ma rozwiązania Δ=1−4=−3 √Δ=i√3

	1−i√3
x1 =
	2

	1+i√3
x2 =
	2

oczywiście na etapie szkoły średniej milcząco zakładamy, że obracamy się w przestrzeni liczb R jeśli więc Bogdanowi chodziło jeszcze o coś to nie wiem o co może o zapis x³=−1 ⇒ x=³√−1 ale chyba nie, bo ostatecznie ³√−1 = −³√1

Jack: Ok, wiem, że pomijamy przez takie uproszczenie pewne rozwiązania (napisałem o tym sporo wyżej do TOmka), niemniej wynikanie zachodzi, tzn. faktycznie rozwiązaniem jest x=−³√1.

Bogdan: Zapis x³ + 1 = 0 przedstawia równanie wielomianowe 3 stopnia. Równanie n−tego stopnia W(x) = 0 ma pierwiastek x = a (w domyśle chodzi o pierwiastek algebraiczny, a nie arytmetyczny) wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez x − a, czyli gdy W(x) = (x − a)*W₁(x), gdzie W₁(x) jest wielomianem stopnia (n−1)−go. Rozwiązujemy podane równanie: x³ + 1 = 0 ⇒ (x + 1)(x² − x + 1) = 0 Nieodzowny jest teraz zapis: x + 1 = 0 ⇒ x = −1 lub x² − x + 1 = 0, dla x∊R brak rozwiązań (szczegółowe wyjaśnienia podała wyżej Basia) Brak zapisu: "... lub x² − x + 1 = 0, dla x∊R brak rozwiązań" czyni rozwiązanie równania niepełnym, jakby niedokończonym. Jest okres kanikuły, jest więc czas na "powkładanie kija w mrowisko". Tym stwierdzeniem usprawiedliwiam swoje trochę czepianie się formalizmów, no ale taka jest matematyka. Pamiętając o definicji pierwiastka arytmetycznego i definicji pierwiastka algebraicznego, który jest rozwiązaniem pewnego równania algebraicznego podam sposób rozwiązania równania x² − 1 = 0, proszę o wypowiedzi, czy podany sposób jest poprawny formalnie. x² − 1 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = √1

Jack: Z tego co zapisałeś można wywnioskować, że chodziło Ci o niepełną odpowiedź − z tym się oczywiście zgadzam, sam też o tym napisałem w poście. Jedak poprzedni Twój zapis, w którym wskazałeś błąd w równaniu x³+1 =0 i kroku "x³=−1 ⇒ x=−³√1" wydaje mi się troszkę nieuzasadniony. Błędu tu nie ma, po prostu zawężamy (niepotrzebnie) rozwiązania (za co mogą zostać odebrane punkty, to prawda), ale o tym już była mowa. Pisząc o "określonych założeniach" miałeś na myśli dookreślenie, w jakim zbiorze szukamy rozwiązań?

Bogdan: Krótko mówiąc, rozwiązując równanie wielomianowe stopnia drugiego i wyższych trzeba najpierw rozłożyć wielomian na czynniki i następnie po przyjęciu założenia co do zbioru rozwiązań wyznaczyć rozwiązanie. W równaniu x³ + 1 = 0 kolejny zapis w postaci: x³ = −1 z formalnego punktu widzenia nie jest poprawny, poprawny zapis to: (x + 1)(x² − x + 1) = 0 i dalej jak pokazałem wyżej. Podkreślam − brak zapisu w trakcie rozwiązywania tego zadania: "x² − x + 1 = 0, dla x∊R brak rozwiązań" może spowodować nie przyznaniem kompletu punktów za to zadanie podczas sprawdzianu, pracy klasowej, egzaminu.

Jack: "W równaniu x³ + 1 = 0 kolejny zapis w postaci: x³ = −1 z formalnego punktu widzenia nie jest poprawny" − to chyba przesada. Odejmować stronami w równaniach zawsze można Co do reszty zgoda.

TOmek: Panowie magistrzy doktorzy habilitowani ogar xD najwyzej mi punkty odejmną

Jack: co się tyczy bezpośrednio rozwiązania w R: najlepiej rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia i wskazać, że (x−1) ma rozwiązania x=1, drugi nie ma bo Δ<0. Za to Ci nie odejmą na pewno. Nasza rozmowa tyczy się formalnych przejść, a nie przystępnego rozwiązania...

Basia: To teraz ja się powymądrzam. Zapis x²=1⇒ x=1 jest formalnie poprawny tak samo jak zapis x²=1 ⇒ x=−1. Natomiast nie jest poprawny oczywiście zapis x²=1 ⇔ x=1 a przy rozwiązywaniu równań musimy posługiwać się operatorem ⇔. x³+1=0 ⇔ x³=−1 ⇔ x=−1 bo funkcja f(x)=x³ jest w dziedzinie R funkcją różnowartościową sądzę, że ten zapis jest formalnie poprawny

Jack:

Basia: Ale głupotę udało mi się napisać Wszystkie implikacje i równoważności z poprzedniego są formalnie poprawne. Inna rzecz czy są prawami logicznymi. Otóż rzecz jasna nie są x²=1 ⇒ x=1 jest dla x=−1 fałszywa (T⇒F) x²=1 ⇒ x=−1 jest dla x=1 fałszywa x²=1 ⇔ x=1 dla x=−1 też jest fałszywa natomiast równoważność x³+1=0 ⇔ x³=−1 ⇔ x=−1 prawem logicznym jest bo itd. dlatego ten sposób rozwiązania wydaje mi się poprawny

lukasz: (2x−3)*=4x−3

lukasz: (2x−3)*=4x−3 − pilnie poczebuje pomocy