szereg dla odmiany Magda: to teraz coś z szeregami: zbadaj zbieżność szeregu: ∑(n!)² / (2n)! n=1 szczerze mówiąc to do tego nawet nie mam pojęcia jak się zabrać, bo nie wiem jak się bada zbieżność czytałam w necie trochę, ale chyba jest mnóstwo sposobów na to... a ja nie wiem od czego zacząć

Basia: najpierw trzeba zbadać warunek konieczny zbieżności szeregu, czyli zbadać czy lim_x→+∞a_n=0 wydaje mi się, że nie jest, ale nie chciałabym Cię wprowadzić w błąd muszę to porządnie rozpisać, a to chwilę potrwa

Magda: jeśli na prawdę będzie Ci się chciało i mi pokażesz jak to zrobić to zacznę chyba ściskać wszystkie Basie w Polsce! Może trafię na Ciebie

Jack: A potrafisz sprawdzić zbieżność tego ciągu z kryterium d'Alemberta, Magdo? Spróbuj... pewnie Basia Ci pokaże jak to zrobić, ale będziesz miała okazję się sprawdzić

Lucyna: a Ty Jack, co? poleciałeś na to ściskanie a gdzie Twoja duma matematyka i nieprzekupność

Jack: nie chcę psuć zabawy

Jack:

	an+1		((n+1)!)2*(2n)!
liczymy iloraz		=
	an		(2n+2)!*(n!)2

podpowiem, że (2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)

Basia: z kryterium d'Alemberta na 99,9% wyjdzie granica=¹₂ czyli niby zbieżny, ale nie mogę udowodnić warunku koniecznego zbiezności

Jack: mi wychodzi 1/4 z d'Alemberta. W liczniku będzie wielomian (n²+.....) a w mianowniku (4n²+.....).

Basia: możliwe Jack szacowałam "na oko"

Magda: chyba wprowadziłam małe zamieszanie... pochwalę się że jak przeczytałam co to jest to kryterium d'Alemberta to nawet sama rozkminiłam jak to zapisać, hihi no ale teraz spróbuję to policzyć

Jack: oki, spróbuję sprawdzić war. konieczny... Gratulacje Magdo

Jack: Na początek: (2n)!=n!*(n+1)(n+2)*...*(n+n)=n!∏_i=1ⁿ(n+i)

(n!)2		n!*n!		n!
	=		=		=
(2n)!		n!∏i=1n (n+i)		∏i=1n (n+i)

	1*2*3*...*n
=		→n→∞ =0
	(n+1)(n+2)(n+3)*....*(n+n)

Ostatnie przejście jest nieoczywiste? (tzn potrzeba odrębny dowód?)

Magda: <b>Jack</b>, w ogóle nie rozumiem już samego "na początek" a poza tym jak zrobiłam to tym d'Alembertem to doszłam do tych wielomianów ale szczerze mówiąc nie wiem dlaczego z tego wychodzi 1/2? bo potem robię te pochodne tak? i mi też wychodzi 1/4...

Lucyna: Magda a jak się rozpisuje n! i (n!)² oraz (2n)! dla przykładu 5! to 1*2*3*4*5

Basia: może niepotrzebnie szukam dziury w całym, ale dla mnie ta zbieżność do 0 nie jest oczywista niby

1		2
	*		*............
n+1		n+2

ale nie ma tak ślicznie i

n−1		n
	→12 i		→12
2n−1		2n

natomiast jak to zapiszę tak

n+1−n		n+2−n		n+n−n
	*		*....................*		to mi wychodzi, że to dąży do 1
n+1		n+2		n+n

Jack: a propos kryterium d'Alemberta: wyjdą wielomiany w liczniku i mianowniku. Wtedy dzielimy przez największą potęgę mianownika (albo patrzymy że stopień obu wielomianów jest ten sam, wiec porównujemy wspólcznynniki przy najwyższych potęgach...).

Basia: O Boże, co za bzdury, oczywiście wtedy wreszcie widać, że naprawdę dąży do 0.

Jack:

	1		2
Ułamki		,		,... są coraz mniejsze, aż przy n→∞ ostatni zbiega do 0. Tym samym
	n+1		n+2

iloczyn również. Jak myślisz ma to sens?

Jack: nie, chyba nie o to jednak chodzi... Po prostu mamy iloczyn nieskończenie wielu ułamków <1.

Magda: chyba już niczego nie rozumiem Lucynko, ale dla mnie to co napisał Jack, to jest rozpisane n! a nie (2n)!. nie rozumiem będę się pocieszać że to już ta godzina i to dlatego a co do tego d'Alemberta − to mi cały czas wychodzi 1/4... a czy tą regułę ze szpitala to można stosować jak się liczy przy n do nieskończoności? czy tylko w punkcie?

Jack: Magdo, można również przy n→∞... (http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_de_l'Hospitala)

	0		∞
Ważne, żeby otrzymać symbol nieoznaczony		lub		. faktycznie wychodzi 14. A to
	0		∞

co napisałem od momentu: (2n)!=.... możesz sobie odpuścić. Wczesniej sprawdzona została zbieżnośc z kryterium d'Alemberta, co wystarcza.

Basia: Zazwyczaj najpierw sprawdza się warunek konieczny. Na przykład ∑cos¹_n n→+∞ ⇒ ¹_n→0 ⇒ cos¹_n→1 i szereg jest rozbieżny. Z kryteriami zbieżności byłoby tu ciężko. Albo

	n2
∑
	(n+1)2

szkoda czasu na kryteria

n2		n2
	=		→ 1
(n+1)2		n2+2n+1

szereg jest rozbieżny.

Magda: aha to po co nazywają to warunkiem koniecznym, skoro nie musi być spełniony

Magda: ale Wy jesteście super

Jack: musi być spełniony, ale niekiedy ciężko tego dowieść.

Magda: i tak pewnie nie odpuszczę i będę rozkminiać to co napisałeś, ale to już nie dzisiaj biorę się za następne przykłady. Bardzo możliwe że jeszcze tu coś wrzucę chociażby żeby sprawdzić czy dobrze policzyłam, bo już trochę pewniej się czuję ale zobaczymy czy o tej porze jestem w stanie myśleć jeszcze

Basia: Jack intuicyjnie to się wydaje oczywiste. Mamy n=1 ¹₂ n=2 ¹₃*²₄=¹₆ n=3 ¹₄*²₅*³₆=¹₂₀ n=4 ¹₅*²₆*³₇*⁴₈ =¹₇₀ ................................................... musi to dążyć do zera ale formalnie udowodnić tego nie potrafię

Basia: No to teraz zastosujemy logikę formalną. Jest spełniony warunek wystarczający zbieżności (kryterium d'Alemberta) ⇒ szereg jest zbieżny ⇒ musi być spełniony warunek konieczny ⇒ a_n→0

Basia: Czy można się do tego dowodu przyczepić ?

Jack: dla mnie bomba!

Basia: Też mnie to usatysfakcjonowało. Miłych snów. Dobranoc.

Magda: hmm.. ja wyczytałam że z tym warunku koniecznym to jest tak, że jeśli a_n nie dąży do 0, to szereg jest rozbieżny. Ale jeśli dąży do 0, to to nic nie udowadnia. Trzeba zastosować inne kryterium. no ale − czy jest coś takiego że jeden warunek ma wyższość nad drugim? w sensie czy mogą się wykluczać? może wyjść tak że w koniecznym nie będzie dążyć do 0, a w d'Alembercie wyjdzie że jest zbieżny?

Jack: Dobranoc.

Jack: tak, jest pewna hierarchia kryteriów − na stronie którą Ci podałem powinno być to opisane. Również będą zamieszczone przypadki, które dla okreslonych kryteriów nie dają ostatecznej odpowiedzi o zbieżność szeregu. Oczywiscie jesli a_n→0, to to za mało, żeby powiedzieć czy szereg jest zbieżny (tzn suma skończona). To jedynie coś co MUSI być spełnione, ale jeszce ZA MAŁO żeby orzec coś o zbieznosci.

Magda: no tak, ale tak jak wydedukowała Basia, w naszym przypadku warunek konieczny musi być spełniony. Rozumiem że czasami d'Alembert nie wystarczy bo np. wyjdzie 1, i nic to nam nie mówi. Ale czy możliwe jest, że policzę metodą d'Alemberta i wyjdzie mi mniejsze od 1, a w koniecznym wyjdzie mi że nie dąży do zera? I wtedy kto ma rację? konieczność czy d'Alembert?

Jack: taka sytuacja jest niemożliwa. Prawdą jest, że: jesli d'Alembert się nie myli (kryt. d'Alemberta orzeka zbieżność szeregu), to szereg jest zbieżny. Więc oznacza to, że jesli szereg nie jest zbieżny, to kryt. d'Alemberta nie orzeka zbieżności.

bzzz: w takim razie już Ci Magdo tłumaczę zapis Jacka: mamy do czynienia z ułamkiem gdzie w: liczniku mamy: (1*2*3*4*....*(n−2)*(n−1)*n)² {a to analogicznie jak 2² to 2*2, zatem w liczniku otrzymujemy=} (1*...*n)*(1*...*n) mianowniku mamy: (2n)! {co jest równoważne z iloczynem wszystkich kolejnych liczb od 1 do 2n,czyli:} 1*2*...*(n−2)*(n−1)*n*(n+1)*....*2n teraz potrzebne skojarzenie, to na jakiej zasadzie skraca się ułamki?

2*5		5
	=		czyli można uprościć elementy wspólne w postaci iloczynowej zarówno
2*7		7

licznika jak i mianownika. Naszym wspólnym elementem iloczynowym licznika i mianownika jest n! więc upraszczamy i otrzymujemy:

n!
	Jack zapisał mianownik przy pomocy znaczka iloczynu, to odpowiednik sumy
(n+1)*...*2n

dla i=1 do n z tą różnicą, że kolejne elementy się mnoży nie dodaje no chyba wszystko

Basia: Z tym warunkiem koniecznym jest tak: jeżeli a_n nie dąży do 0 ⇒ szereg rozbieżny (i koniec) jeżeli a_n→0 ⇒ jeszcze nic nie wiadomo, może być zbieżny, może być rozbieżny

bzzz: lub weźmy przykład całkiem z życia facet Ci się nie podoba, to nic z tego nie będzię natomiast facet Ci się podoba to może coś z tego być lub nie, po kryterium "podobania" stosujesz inne kryterium np zachowania i dopiero określasz czy odpuszczasz delikwenta czy nie

bzzz: tylko zasadniczo w matematyce kończy się to na tym drugim kryterium a Ty do faceta pewnie zastosujesz jeszcze kilka

Magda: bzzz, dziękuję za rozłożenie mi tego na czynniki pierwsze rzeczywiście nie miałam pojęcia co oznacza ten "stolik". Teraz wszystko jest takie proste i klarowne i bardzo ułatwiające życie porównanie ale ze mną jest inaczej. Ja najpierw patrzę czy mi się podoba, a potem jaki jest stan jego konta i u mnie też to się kończy na drugim kryterium

Basia: Nie mów "hop". Przyjdzie kryska na Matyska.