szeregi potęgowe Basia: Zadanie dla Jacka Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) = e^(−x2) Robię to klasyczną metodą obliczania kolejnych pochodnych i jakiś tam nawet sensowny wynik osiągam, ale ciągle myślę czy nie dało by się jakiejś sprytnej sztuczki zastosować i nic mi do głowy nie przychodzi. Może Tobie przyjdzie. Ewentualnych chętnych uczulam, na fakt, że to nie jest to samo co (e^−x)². Nie chcę nikogo obrażać, ale już mi dwa razy tak mój zapis "przekształcono", no i oczywiście potem to już małe piwo.

jiji:

	xn
to chyba nie będzie zbyt skomplikowane rozwinięcie ex to∑		tutaj w miejsce x
	n!

wystarczy wstawić −x² chyba że chcesz rozwijać poprzez zapisanie wzoru taylora i wykazywaniu że reszta lagrange'a zmierza do 0?

mietek:

	sinx
apropos szeregów potęgowych ciekawe zadanie obliczyć przybliżoną wartość ∫		dx w
	x

	1
granicach od 0 do 1 z dokładnością
	1000

Basia: problem w tym, że to się nie zgadza przy takim podstawieniu dostaję

	(−x2)n		(−1)nx2n
∑		= ∑
	n!		n!

a przy metodzie liczenia kolejnych potęg dostaję inne współczynniki no możliwe, że gdzieś się mylę

Jack: zaraz dokaldnie sobie rozpiszę, ale nie jestem pewien czy nie powinno stać jeszcze 2ⁿ w liczniku (czy coś podobnego)...

Basia: nie zgadza mi się przy a₆ z rachunku pochodnych dostaję f⁽⁶⁾(0)=−30 co daje

	−30		−30		−1
a6 =		=		=
	6!		1*2*3*4*5*6		4!

a z szeregu z podstawienia mam współczynnik przy x⁶ równy

(−1)3
3!

z tym, że te pochodne są paskudne i mogłam się pomylić

Basia: w ogóle to mamy prawo podstawić x² za x ? czy tylko wyrażenia tego samego stopnia np. x−1,x+3, 2x, ^x₅+1 itp. ? bo już zupełnie zgłupiałam ?

Basia: oj nie (−30) −30 mam tylko w nawiasie, chyba −120, kartka mi zginęła w każdym razie wyszło mi tak w liczniku jakieś 2ⁿ muszę policzyć jeszcze raz

Jack: wydaje mi się że cały argument (potęga e) jest brana jako "x" w sumie ∑. Też już głupieję... W przypadku e^x jest łatwo bo (e^x)'=e^x. Wyszło Ci już coś?

Jack:

	(−1)n*x2n		x4
To będzie chyba tak: ∑		=1−x2+		−... itd.
	n!		2

Reszta zbiega do 0 bo silnia (w mianowniku) szybciej ucieka do nieskoń. niż dowolny wielomian (w liczniku).

Jack: wydaje mi się że wcześniej dobrze zrobiłaś...

Basia: a jednak to jest to samo; to podstawienie jest poprawne musiałam się przedtem gdzieś pomylić f⁽⁶⁾(0)=−120 (jestem pewna)

	−120		−1		(−1)3
a6 =		=		=
	6!		3!		3!

Jack: ok, a jak liczysz te a₆? Z szeregu wyciągasz współczynnik czy jakimś innym wzorem?

Basia: policzyłam szóstą pochodną i f⁽⁶⁾(0) a szereg Maclaurina to

	f(n)(0)
∑		*xn
	n!

ale równocześnie ∑a_n*xⁿ czyli

	f(n)(0)
an =
	n!

czyli

	−120		−1
a6 =		=
	6!		3!

w tym szeregu z podstawienia mamy natomiast

	(−1)n
a2n =
	n!

bo to jest współczynnik przy x²ⁿ czyli a₆ otrzymamy dla n=3 no i jest to samo

Jack: Ok, czyli wszystko wyszło (ja się zatrzymałem w wyliczaniu na IV pochodnej bo uznałem że Twój pierwszy wzór był dobry).