łatwe zadanko Amaz: Cześc, wiem, że to łatwe, ale coś mi się pomieszało w głowie i nie mogę tego zrobić Zapisać formułe: (p∧¬q)∨(¬p∧q) w postaci koniunkcyjno−alternatywnej...

Amaz: kiedyś było to dla mnie proste, ale koleś, z którym mam zajęcia tak zamieszał, że teraz mam problemy...

Basia: a co to jest ta postać koniunkcyjno−alternatywna ? może coś z tego będzie pasować (p∨~p)∧(p∨q)∧(~q∨~p)∧(~q∨q) ⇔ T∧(p∨q)∧(~q∨~p)∧T ⇔ (p∨q)∧(~q∨~p) ⇔ (p∨q)∧[~(p∧q)] ⇔ [p∧~(p∧q)]∨[q∧~(p∧q)]⇔ (p∧~p)∨(p∧~q)∨(q∧~p)∨(q∧~q) ⇔ F∨(p∧~q)∨(q∧~p)∨F ⇔ (p∧~q)∨(q∧~p)

Basia: to chyba to z 3 linijki

Amaz: To (p∧¬q)∨(¬p∧q) jest postać alternatywno−koniunkcyjna, a nam chodzi o to, żeby występowanie koniunkcji i alternatywy było na odwrót

Amaz: aaa dobra już wiem

Jack: chodzi może o zapis tej formuły bez negacji, a z samymi tylko koniunkcjami i alternatywami?

Jack: no to pewnie jakieś prawo De Morgana

Basia: no to zgadza się; weź trzy pierwsze linijki; w trzeciej masz to co trzeba

Basia: Jeszcze raz porządnie (p∧¬q)∨(¬p∧q) ⇔ (p∨~p)∧(p∨q)∧(~q∨~p)∧(~q∨q) ⇔ T∧(p∨q)∧(~q∨~p)∧T ⇔ (p∨q)∧(~q∨~p)

Amaz: a takie zdanie jest prawdziwe? (∃x)(x²≤0 => x²<0)

Jack: tak − wystarczy żeby poprzednik implikacji był fałszywy.

Amaz: ale dla x=0 też to działa co nie?

Basia: nie jest implikacja x²≤0 ⇒ x²<0 jest fałszywa dla każdego x gdyby była prawdziwa, prawdziwa byłaby również jej kontrapozycja czyli ~(x²<0)⇒ ~(x²≤0) czyli x²≥0 ⇒ x²>0 fałszywość tej ostatniej jest już chyba oczywista

Jack: nie działa Amaz, bo poprzednik będzie prawdziwy, a następnik fałszywy. Generalnie działa dla kazdej liczby R która nie spełnia warunku z poprzednika (czyli x>0).

Amaz: bo całe zadanie wygląda tak: uzasadnić, że formuła (∃x)(x²≤0 => x²<0) => ((∃x)(x²≤0) => (∃x)(x²<0)) nie jest tautologią rachunku kwantyfikatorów

Basia: weźmy zaprzeczenie ~ [ ∃_x (x²≤0 ⇒ x²<0) ] ⇔ ∀_x ~(x²≤0 ⇒ x²<0) ⇔ ∀_x (x²≤0 ∧ ~(x²<0) ] ⇔ ∀_x (x²≤0 ∧ x²≥0) ⇔ ∀_x (x²=0) to ostatnie jest już na pewno fałszywe czyli Jack ma rację, początkowa jest prawdziwa

Jack: można przez kontrprzykład. Za pierwszego x można wziąć 5, za drugiego (tj. przy drugim kwantyf.) 0, za trzeciego znów 5 (lub 0). Będzie wtedy tak: (0⇒0) ⇒ (1⇒0) 1⇒0 0

Amaz: To jest takie głupie, że aż mi się płakać chce. Przede mną jeszcze relacje, dobrze, że funkcje i równoliczność zbiorów dobrze umiem, bo bym się chyba załamał...

Jack: Nie łam się Amaz − jesteśmy wirtualnie z Tobą, łączymy się w bólach

Basia: tłumacząc to na "ludzki" język pytamy czy istnieje takie x, dla którego implikacja x²≤0 ⇒ x²<0 jest prawdziwa ano istnieje, bo implikacja 2²≤0 ⇒ 2²<0 jest prawdziwa (F⇒F) dalej już chyba wiesz, a jak nie to pytaj dalej

Jack: dodam tylko, żebyś zwracał uwagę za zasięg kwantyfikatorów... pewnie to wiesz "ale...".

Amaz: ta właśnie wiem, ale nie zawsze się o tym pamięta