dwa zadanka :) kiubi: 1. Uzasadnic ze funkcja jest różnowartościowa na przedziale {1/2, ∞) f(x)= e^x2−x 2. Znajdż granicę ciągu: a) an=√n²−2n−√n²+n+2 b) bn=√n⁴+4n²−√n⁴−n³+n

Baykowsky: zad1. funkcja jest roznowartosciowa kiedy zachodza dwa warunki: 1) funkcja jest ciagla na calej dziedzinie 2) zachodzi warunek ze dla kazdych x₁ oraz x₂ jezeli x₁ ≠ x₂ to f(x₁) ≠ f(x₂) warunek 1 jest w tym przypadku oczywisty (funkcja exponencjalna jest funkcją ciaglą) warunek drugi rozpatrujemy tak: zakladamy nieprawde, tzn ze funkcja ta NIE JEST roznowartosciowa. inaczej mowiac ze istnieja dwa ROZNE punkty dla ktorych funkcja przyjmuje taka sama wartosc czyli zachodzi warunek ze istnieje x₁ oraz x₂ jezeli x₁ ≠ x₂ to f(x₁) = f(x₂) f(x₁) = e^{(x₁)2 − x₁} ; f(x₂) = e^{(x₂)2 − x₂} f(x₂) = f(x₁) => e^{(x₂)2 − x₂} = e^{(x₁)2 − x₁} stad (x₁)² − x₁ = (x₂)² − x₂ (x₁)² − (x₂)² + (x₁) − (x₂) = 0 (x₁ − x₂)(x₁ + x₂) − x₁ + x₂ = 0 (x₁ − x₂)(x₁ + x₂ − 1) = 0 czyli z pierwszego nawiasu x₁ = x₂ albo z drugiego x₁ = 1/2 oraz x₂ = 1/2 zeby ktorys z nawiasow dawal zero (iloczn dwoch liczb jest zerem wtedy i tylko wtedy gdy co najmniej jedna z tych liczb jest zerem) stad dochodzimy do sprzecznosci bo przeciez mialy istniec dwa rozne punkty dla ktorych wartosc jest jednakowa a dostalismy z obu nawiasow ze sa sobie rowne

Baykowsky:

	a2 − b2
w zadaniu drugim stosujesz metode a − b =
	a + b

dlaczego taka? bo jezeli dwie liczby daza do nieskonczonosci to nie wiemy ktora szybciej stad tez nie mozemy okreslic ich roznicy. natomiast z tego wzory dostajemy sume w mianowniku wiec jest ok

kiubi: Wielkie dzięki za rozwiązania

Basia: Funkcja różnowartościowa wcale nie musi być ciągła. Przykład: x dla x<0 f(x) = x+2 dla x≥0 Pomyliło Ci się chyba z różniczkowalną.