Ekstrema Edek: Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Mam parę problemów przy niektórych zadaniach a) z=x²y²+2x−4√xy−2y+8 określam dziedzinę D: (x≥0 i y≥0) lub (x≤0 i y≤0)

	2y
z'x=2xy2+2−		=0
	√xy

	2x
z'y=2yx2−		−2=0
	√xy

	y
xy2−		+1=0
	√xy

	x
yx2−		−1=0
	√xy

wyliczam z pierwszego √xy

y
	=xy2+1
√xy

y
	=√xy
xy2+1

podstawiam do drugiego

	x(xy2+1)
x2y−		−1=0 /*y
	y

x^y2−x²y²−x−y=0 x=−y i tutaj pojawia się problem bo wychodzi mi √−y² .. raczej zespolonych tutaj bym nie umieszczał inne przykłady b)z=x³+y² c)z=x³+y³ tutaj tylko chciałbym się spytać czy to badanie otoczenia punktu jest jakieś wyczerpujące, czy może by uszło na mój rozum

Lucyna: skoro masz dziedzinę jaką masz, to jedyny punkt spełniający to x = −y to (0,0)

Lucyna: ale ja to policzyłam trochę inaczej: pomnożyłam przez √xy zostawiłam wyrażenia z tym pierwiastkiem po jednej stronie a na drugą przeniosłam to bez i podniosłam do kwadratu pokażę tylko na jednej linijce: mamy:

	y
z'x = xy2 −		+ 1 = 0 / *√xy
	√xy

√xyxy² − y + √xy = 0 √xyxy² + √xy = y /podnosimy stronami do kwadratu x³y⁵ + 2x²y³ + xy = y² / :y x³y⁴ + 2x²y² + x = y z z'_y otrzymałam w ten sam sposób: x⁵y³ − 2x³y² + xy = x² /:x x⁴y³ − 2x²y² + y = x / dodaję stronami x³y⁴ + x⁴y³ = 0 x³y³(x+y) = 0 ⇔ x= −y v x=0 y∊R v y=0 x∊R

Edek: no w sumię by można i tą stroną tylko, później mamy √xy w mianowniku, awięc (0,0) odpada, a nawet jeśli nie to podkładając do równania otrzymamy −2=0 więc jak sądzicie ogólnie chyba jest to przykład w którym niema żadnych punktów do sprawdzania ?

Basia: a nie łatwiej tak:

	y
(1) xy2−		+1=0
	√xy

	x
(2) x2y−		−1=0
	√xy

y
	=xy2+1
√xy

x
	=x2y−1
√xy

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x+y
	=xy(x+y)
√xy

1. x+y=0 ⇔ x=y=0 (po uwzględnieniu dziedziny) 2. x+y≠0

1
	=xy
√xy

xy√xy=1 (xy)^3/2=1 ⇔ xy=1 ale to daje po podstawieniu do (1) lub (2) sprzeczność jedynym punktem, w którym mogłoby istnieć ekstremum lokalne jest A(0,0) ale odpada bo w tym punkcie pochodne nie istnieją wnioski takie same, tylko rachunki prostsze

Edek: no dobra dzięki wielki

Basia: pokażę jak to się liczy na przykładzie (b) tam powinny być ekstrema lokalne

Basia: f(x,y)=x³+y² D = R² f'_x=3x² f'_y=2y 3x²=0 2y=0 x=0 y=0 A(0,0) f"_xx=6x f"_xy=0 f"_yx=0 f"_yy=2 W(x,y) = f"_xx*f"_yx − f"_yy*f"_yx=6x*0−2*0=0 nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć czy w punkcie A(0,0) jest jakieś ekstremum lokalne −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− w (c) będzie identycznie −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia ekstremum jest W(x₀,y₀)>0 jeżeli W(x₀,y₀)<0 na pewno nie ma ekstremum W(x₀,y₀)=0 nie rozstrzyga −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− nie miało tam być mnożenia w tych przykładach (zamiast dodawania) ?

Lucyna: Basiu a tego wyznacznika nie liczy się f''_xxf''_yy − f''_xyf''_yx ?

Basia: o rany oczywiście, że tak f'_xx f'_xy W(x,y) = = f'_xx*f'_yy−f'_xy*f'_yx f'_yx f'_yy tutaj W(x,y) = 6x*2−0*0=12x ale i tak W(0,0)=12*0=0 czyli tak czy owak nie rozstrzygniemy na kartce miałam oczywiście dobrze

Lucyna: no racja ale jeszcze trochę takich zadanek i nie tylko przypomnę sobie materiał ze studiów a wręcz nawet sobie go utrwalę