gradienty Maryś: niech f(x,y)=x²+(xy−1)² dla (x,y) należącego do R², Q:{(x,y): −1≤x≤1 i −1≤y≤1}. znaleść wszystkie punkty zerowania się gradientu funkcji f i wyjeśnić czy f ma w tych punktach lokalne maksima, lokalne minima lub siodła. znaleść najmniejszą i największą wartość funkcji f w kwadracie Q. znaleść najmniejszą i największą wartość funkcji f w płaszczyznie R² lub wykazać że jedna z nich lub obie nie istnieją. gdyby ktoś mógł to plis o rozw.

Basia: znajdź najpierw ten gradient czyli (nie ma tu odpowiedniego symbolu więc użyję Δ)

	df		df
Δf = [		,		]
	dx		dy

potrafisz to policzyć ?

Maryś: wydaje mi się że tak, dla jednego równania przyjmuję zmienną x a dla drugiego y

Basia: po prostu szukasz pierwszej pochodnej po x i pierwszej pochodnej po y

df
	= 2x+2(xy−1)*y
dx

df
	= 2(xy−1)*x
dy

i rozwiązujesz układ równań 2x+2(xy−1)*y=0 2(xy−1)*x=0 2(xy−1)*x = 0 ⇔ x=0 lub xy−1=0 dla x=0 masz z (1) 2*0+2(0−1)*y=0 −2y=0 y=0 A(0,0) dla xy−1=0 masz z (1) 2x=0 x=0 ale wtedy xy−1=−1 sprzeczność czyli jedynym punktem zerowania gradientu jest A(0,0) i tylko w tym punkcie może być ekstremum lokalne f'_x = 2x+2(xy−1)*y=2x+2xy²−2y f'_y = 2(xy−1)*x=2x²y−2x f"_xx = 2+2y² f"_xy = 4xy−2 f"_yx = 4xy−2 f"_yy = 2x² W(x,y) = (2+2y²)(4xy−2)−2x²(4xy−2) = (4xy−2)(2+2y²−2x²) W(0,0) = −2*2=−4<0 czyli w tym punkcie nie ma ekstremum, jest siodło wartości największej na pewno nie będzie bo suma kwadratów przy x,y→±∞ będzie →+∞ wartość najmniejsza: x²=0 ⇔ x=0 wtedy (xy−1)²=1 i f(x,y)=1 lub xy−1=0 i x≠0 i y≠0 xy=1 x=¹_y

	1
f(x,y) =		a to wyrażenie nie ma wartości najmniejszej bo →0
	y2

czyli wartości najmniejszej też nie ma, bo oba kwadraty nie mogą być równocześnie = 0 ponieważ już wiadomo, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych badamy tylko jej wartości na brzegach kwadratu −1≤x≤1 −1≤y≤1 dla x=−1 mamy f(x,y)=1+(−y−1)² = 1+y²+2y+1 = y²+2y+2 f'_y = 2y+2 2y+2=0 ⇔ y=−1 f(−1,−1)=1−2+2=1 dla x=1 mamy f(x,y)=1+(y−1)²=y²−2y+2 f'_y=2y−2=0 ⇔ y=1 f(1,1)=1−2+2=1 dla y=−1 mamy f(x,y)=x²+(−x−1)²=x²+x²+2x+1=2x²+2x+1 f'_y=4x+2=0 ⇔ x= −¹₂ f(−1,−¹₂) = 2*¹₄−1+1=¹₂ dla y=1 mamy f(x,y)=x²+(x−1)²=x²+x²−2x+1=2x²−2x+1 f'_y=4x−2=0 ⇔ x= ¹₂ f(1,¹₂) = 2*¹₄−1+1=¹₂ wartość najmniejsza w tym kwadracie to ¹₂, największa to 1 sprawdź czy tam gdzieś błędu nie ma, bo trochę dziwne te wyniki

Maryś: dziękuję bardzo

Basia: tu jest błąd f"_xx = 2+2y² f"_xy = 4xy−2 f"_yx = 4xy−2 f"_yy = 2x² W(x,y) = (2+2y²)*2x²−(4xy−2)² = 4x²+4x²y²−16x²y²+16xy−4 = 4x²−12x²y²+16xy−4 ale to nie zmienia wyniku, bo W(0,0)=−4<0