Wyznaczyć asymptoty kamil: f(x)=e ⁻¹_x

Jack: określ dziedzinę i sprawdź zachowanie funkcji na jej brzegu. Potem sprawdź też granicę przy x→±∞.

kamil: bardzo proszę o pomoc, bo nie mogę sobie z tym poradzić...

Basia: jeżeli tu jesteś spróbujmy to zrobić razem napisz najpierw jaka jest dziedzina tej funkcji

kamil: Może żeby było mi łatwiej zrozumieć liczenie asymptot to wziąłbym pod uwagę przykład

	x − 1
f(x)=
	2 − x

gdzie dziedzina wynosi x≠2, tak ?

Basia: tak, x≠2 natomiast D=R\{2} czyli żeby znaleźć asymptoty musisz policzyć:

	x−1
1. limx→2+
	x−2

	x−1
2. limx→2−
	x−2

to daje (jeśli są) asymptoty pionowe

	x−1
3. 1. limx→+∞
	x−2

	x−1
4. limx→−∞
	x−2

to daje (jeśli są) asymptoty poziome 5. zbadać czy istnieją asymptoty ukośne czyli policzyć

	f(x)
limx→+∞
	x

jeżeli ta granica istnieje, jest skończona i ≠0 mamy kierunek asymptotyczny prawostronny i asymptotą jest prosta y=mx+b gdzie

	f(x)
m=limx→+∞
	x

b = lim_x→+∞ [ f(x)−mx ]

	f(x)
limx→−∞
	x

jeżeli ta granica istnieje, jest skończona i ≠0 mamy kierunek asymptotyczny lewostronny i asymptotą jest prosta y=mx+b gdzie

	f(x)
m=limx→−∞
	x

b = lim_x→−∞ [ f(x)−mx ]

kamil: bardzo dziękuję Basiu !

Basia: no dobrze, zlituję się dla x=2 licznik = x−1=2−1=1>0 x→2⁻ to x<2 i mianownik x−2<0 i x−2→0 stąd

	x−1
limx→2−		= −∞
	x−2

czyli prosta x=2 jest asymptotą pionową lewostronną x→2⁺ to x>2 i mianownik x−2>0 i x−2→0 stąd

	x−1
limx→2+		= +∞
	x−2

czyli prosta x=2 jest asymptotą pionową prawostronną czyli prosta x=2 jest asymptotą pionową obustronną

	x−1
limx→±∞		=
	x−2

	x(1−1x)
limx→±∞		=
	x(1−2x)

	1−1x
limx→±∞		=
	1−2x

1−0
	=1
1−0

czyli prosta y=1 jest asymptotą poziomą obustronną asymptot ukośnych nie ma, bo

	x−1x−2
limx→±∞		=
	x

	x(1−1x)
limx→±∞		=
	x2(1−2x)

	1−1x
limx→±∞		=
	x(1−2x)

	1−1x		1
limx→±∞		*limx→±∞		=
	1−2x		x

1*0=0

Basia: zrób teraz ten przykład z f(x)=e^−1_x o podaj wyniki sprawdzimy czy dobrze

kamil: Rozwiązałem to zadanie i uzyskałem takie wyniki:

	−1		−1
lim, x−> 0+, e		= [ e		] = −∞
	x		0+

	−1		−1
lim, x−> 0−, e		= [ e		] = +∞
	x		0−

czyli x=0 jest asymptotą pionową obustronną

	−1		−1
lim, x−> +∞, e		= [ e		] = e0 = 1
	x		+∞

	−1		−1
lim, x−> −∞, e		= [ e		] = e0 = 1
	x		−∞

y=1 jest asymptotą poziomą obustronną brak asymptoty ukośnej, bo

	−1		1
a= lim, x−> +∞,−∞ e		: x =		= 0
	x		x

Dobrze został zrobiony ten przykład ?

Jack: 1. e^−∞ to nie −∞ Stąd ta asymptota pionowa inaczej wyjdzie 2/3 najlepiej od razu liczyć ukośną, bo pozioma jest jej szczególnym przypadkiem. Wzór a. ukosnej to y=ax+b. "a" policzyłeś, teraz "b" policzyc trzeba lim_x→±∞ f(x)−ax = =lim_x→±∞ f(x). lim_x→±∞ f(x) − policzyłeś jako a. pozioma i wyszło Ci obustronnie 1. Więc ostatecznie a. ukośna ma postać y=1 (z obu stron osi OY) − a więc jest to sczególny przypadek a. ukośnej, czyli a. pozioma.

kamil: Ale żeby liczyć asymptotę ukośną to w przypadku wyliczenia a musi wyjść liczba, a tutaj wyszło 0.

Jack: 0 to też zdaje się liczba. Co innego ±∞...

Basia: lim_x→±∞ e^−1/x=e⁰=1 czyli mamy asymptotę poziomą obustronną y=1 (to jest dobrze) lim_x→0⁻ e^−1/x = e^+∞=+∞ lim_x→0⁺ e^−1/x = e^−∞=0 prosta x=0 jest asymptotą pionową lewostronną asymptot ukośnych nie ma jeżeli "wychodzi" 0 mamy po prostu asymptotę poziomą

kamil: Też właśnie jak wychodzi 0 to mamy tylko asymptotę poziomą. To muszę zapamiętac, że e^∞ to 0

Basia: e^−∞=0 e^+∞=+∞ tak nawiasem mówiąc nie powinno się tak pisać formalnie powinno być to zapisane tak: f(x)→ −∞ ⇒ e^f(x)→0 f(x)→+∞ ⇒ e^f(x)→+∞ to dotyczy nie tylko liczby e, ale każdej potęgi postaci a^f(x) gdzie a>1 dla 0<a<1 jest odwrotnie czyli: a>1 f(x)→ −∞ ⇒ a^f(x)→0 f(x)→+∞ ⇒ a^f(x)→+∞ 0<a<1 f(x)→ −∞ ⇒ a^f(x)→+∞ f(x)→+∞ ⇒ a^f(x)→0

kamil: Ale ten zapis który ja wykonywałem jest zapisywany w nawiasach kwadratowych jako "osobiste" rozwiązanie granicy.

Basia: no to ok.

aga:

3x − 1
x − 2