do JACK: rownania rozniczkowe Baykowsky: rozwiaz rownanie rozniczkowe: y''=y'*e^y

Jack: spróbuj zrobić takie podstawienie: u=y'

	du
u		=y''
	dy

Powinno coś z tego wyjść.

Baykowsky: Jack nie wiem czy Tobie tez ale mi wyszlo ze u = e^{C + ey} i dalej nie wiem co mam zrobic

Jack: Mi tak wyszło:

	du
u		=u*ey
	dy

du
	=ey
dy

du=e^y dy ∫du=∫e^y dy u=e^y + c

Baykowsky:

	du
z tym ze nie jestem pewien czy podstawienie u*		=y'' jest prawidlowe.
	dy

dla mnie jesli u=y' to y''=u' ale to nie to samo chyba co u Ciebie. wytlumacz mi prosze

Baykowsky: moze inaczej. moglbys byc jutro na forum o 9:00? bede potrzebowac Twojej pomocy

Jack: Uzależniamy funkcję u od zmiennej "y". Więc jak liczymy drugą pochodną u to traktujemy ją jako funkcję złożoną (bo u(y), gdzie y=y(x) a więc też jakaś funkcja ), czyli skoro u=y' , to u*u'=y'' (ale że "prim" przy y oznacza pochodną po "x", a "prim" przy u oznacza pochodną po "y", więc to "prim" przy u należałoby inaczej oznaczyć ,stąd mój zapis u*^du_dy=y''). Kwestia oznaczeń była jasniejsza gdyby można było stawiać kropki nad funkcją, Jakubie − administratorze

Jack: hm, nie wiem czy nie bedę wtedy spał (albo w drodze do dziekanatu...)

Jack: postaram się dopisać rozwiązanie bo nie wydaje mi się proste... nie będę (mam nadzieję) posądzony o bezeceństwo....

Jack:

dy
	=ey +c
dx

dy
	=dx
ey+c

Tutaj korzystamy (jesli nie chce nam się wyprowadzać) ze wzoru:

	1		x		ln (ex+a)
∫		dx =		−
	ex+a		a		a

Czyli mamy:

y		ln (ey+c)
	−		=x +c1
c		c

1		ln (ey+c)
	*ln ey−		=x+c1 / * c
c		c

y−ln(e^y+c)=(x+c)c₁ ln(e^y+c)−y=−(x+c)c₁ e^ln(ey+c)−y=e^−(x+c)c₁

eln (ey+c)
	=e−(x+c)c1
ey

ey+c
	=e−(x+c)c1
ey

	c
1+		=e−(x+c)c1
	ey

c
	=e−(x+c)c1−1 / *1c
ey

1		e−(x+c)c1−1
	=
ey		c

	e−(x+c)c1−1
ln (ey)−1=ln (		)
	c

	e−(x+c)c1−1
y=−ln (		)
	c

Pewnie gdzieś można uprościć... (mam nadzieję że błędów nie zrobiłem ale idea jest chyba jasna)

Jakub: Kropka nad x jako pochodna po czasie faktycznie by się przydała. Problem w tym, że te wpisy są składane w starym dobrym html. Wprawdzie razem z css wiele da się z nim zrobić, ale mimo wszystko jest to duże ograniczenie. Problemem jest także, jak umieszczać kropkę nie tylko nad x, ale także nad dowolną literą małą i dużo. Pomyślę, może coś przyjdzie mi do głowy.

Baykowsky: dzieki wielkie, ratujesz mi skore tylko blaaagam, badz jutro rano

Jack: egzamin masz?

Baykowsky: dokladnie

Jack: już wiem że mnie nie będzie na forum − jadę na 9 na odczulanie. Masz trochę czasu na ćwiczenia − dasz sobie radę