Zadanko Godzio: Dla niemającej co robić Kejt i innych Współczynniki a,b,c,d wielomianu W(x) = ax³ − bx² − cx + d tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r. Wykaż, że jeżeli ar > 0 to wielomian W(x) ma trzy miejsca zerowe W sumie łatwe

Kejt: ech.. to ja sobie pójdę porysować..

Godzio: spróbuj nie jest trudne

Godzio: "tworzą ciąg arytmetyczny" jeśli to wykorzystasz to już dalej leci

Kejt: zadania pod tytułem "wykaż" lub "udowodnij" mnie odrzucają..

Godzio: Ale są najfajniejsze

Godzio: To jak chcesz to to pozostawimy innemu chętnemu a tobie dam obliczeniowe ?

Kejt: och. jakiś Ty dobry. Z chęcią ;>

Godzio: Stosunek promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy k. W jakim stosunku środek okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli dwusieczną kąta prostego ? Określić dziedzinę dla parametru k. I dla pewności nie wiem czy to tw. znasz: https://matematykaszkolna.pl/strona/498.html może się przyda a może nie

	a+b−c
i oczywiście ogólnodostępne wzory: rwpisanego w Δ pr. =
	2

	1
Ropisanego na pr. =		c
	2

Godzio: wrócę za jakiś czas i zobaczę efekty twojej pracy (jak zrobisz 2 to pomyśl nad pierwszym) powodzenia

Kejt: jutro napiszę jak zrobię. teraz już idę spać, bo zaraz mi głowa na klawiaturę spadnie.. dobranoc.

Lucyna: ax³ − bx² − cx + d ar>0 ⇒ a>0 i r>0 lub a<0 i r<0 wystarczy zauważyć, że skoro a,b,c i d tworzą ciąg arytmetyczny to a+d = b +c zatem pierwiastkiem wielomianu W(x) będzie 1 W(1) = +/−a −/+ b −/+ c +/−d = +/−(a+d) −/+ (b+c) ={za a+d podstawiam b+c} +/−(b+c) −/+ (b+c) = 0 skoro 1 jest pierwiastkiem to podzielę +/−ax³ −/+ bx² −/+ cx +/− d przez (x−1) otrzymam funkcję kwadratową postaci: +/− ax² + (+/−r)x −/+d Δ = (+/−r)² − 4*(+/−a)*(−/+d) = r² +4ad > 0 zatem mamy dwa pierwiastki (ad>0, bo jeśli a>0 i r>0 to d>0 oraz gdy a<0 i r<0 to d<0 zatem ad>0)

Godzio: Trochę dziwny sposób ale zapewne dobrze tylko trzeba sprawdzić czy 1 nie jest pierwiastkiem (tak mi się wydaje) mają być 3 więc mamy : 1 , x₂ , x₃ − x₂ i x₃ z delty ale nie wiadomo czy to przypadkiem nie jest 1

Eta: Można też tak a , b= a+r, c= a+2r, d= a+3r W(x) = ax³−(a+r)x² −( a+2r)x +a+3r=0 W(1)=0 , po wykonaniu dzielenia przez x −1 W(x) = (x−1)( ax²−rx−a−3r)=0 Δ= r²+4a² +12ar >0 bo ar >0 zatem jednym pierwiastkiem jest x= 1 i istnieją pozostałe dwa pierwiastki rzeczywiste z drugiego nawiasu c.n.u

Godzio: ja robiem podobnie tyle że wymnożyłem i pogrupowałem i w ten sposób znalazłem x = 1

Eta: Też tak można

Godzio: tylko się zastanawiam czy dodatkowo nie trzeba postawić tego warunku dla ax² − rx − a − 3r : W(1) ≠ 0 W(1) = a − r − a − 3r = −4r ≠ 0 bo r ≠ 0

Eta: ja dzieliłam Hornerem ....., bo szybcjej

Godzio: To co Lucyna może się skusisz na pierwsze zadanko ?

Eta: r≠0 i a≠0 wynika z ar >0

Godzio: ale chodzi mi o to żeby 1 nie powtórzyła się (jako pierwiastek) w tym podzielonym członie

Lucyna: no to już chcemy aby: x_1/2 ≠ 1

r +/− √Δ
	≠ 1
2a

r+/− √Δ ≠ 2a +/−√Δ ≠ 2a − r /podnoszę stronami do kwadratu r² + 4a² +12ar ≠ 4a² +r² − 4ar 16ar ≠ 0 co jest prawdą bo ar>0

Eta: no właśnie z drugiego członu automatycznie => W(1) ≠0 , bo r ≠0 i a ≠0

Lucyna: Godzio to było pierwsze zadanki a drugie mnie jakoś średnio kręci. Nie wiem jeszcze nie rozumiem za bardzo treści

Godzio: a no tak

Lucyna:

	r√2
tak na szybkiego wychodzi mi		= √2 ale coś wydaje mi się, że to nie to, bo za
	r

szybko i za łatwo, a to znaczy, że nie zrozumiałam polecenia w zadaniu

Godzio: Obrazowo:

r
	= k
R

x
	= ?
y

Lucyna: a to dobrze zrobiłam

Godzio: dwusieczna nie musi przechodzi przez punkt styczności leżący na przeciwprostokątne (jest tak jeżeli jest to trójkąt prostokątny równoramienny)

Godzio: kombinuj a ja się znów oddalam na jakiś czas

Lucyna: no właśnie i dlatego nie lubię takich zadań

Godzio: Ja uwielbiam się w takie coś bawić tylko nie zawsze wychdzi

Godzio: dobra widze że nie ruszone: 1. podpowiedź: jeśli chcesz podać dziedzinę to oblicz max k i minimum wiadomo bedzie (0, ... ) 2. https://matematykaszkolna.pl/strona/498.html ja użyłem tego, może na coś wpadniesz

Lucyna: dzięki Godzio, ale nic mi to nie daje. Może jutro coś wymślę.

Godzio: Ok ehhh i pomyśleć że dzisiaj była ostatnia lekcja matematyki w tym roku szkolnym

Lucyna: Godzio też chętnie wróciłabym do szkoły, a najbardziej mi się podoba wizja wakacji... ale każdy wiek ma swoje prawa i przywileje, albo ich brak... zatem z wakacji nici:(

Bogdan:

	r		a + b − c		a		b
k =		=		=		+		− 1 ⇒ sinα + cosα = k + 1
	R		c		c		c

x = r√2 β = α + 45^o,

r		√2
	= sinβ = sin(α + 45o) = sinαcos45o + sin45ocosα =		(sinα + cosα)
y		2

	r		√2		r√2
y =		*		=
	√2   (sinα + cosα)   2		√2		sinα + cosα

x		r√2
	=		= sinα + cosα = k + 1
y		r√2   sinα + cosα

Lucyna: no i koniec moich męczarni przynajmniej nie będzie mi się śniło to zadanie po nocach. Dzięki Bogdan

Bogdan:

Godzio: No prawie dobrze tylko dziedziny nie ma

Lucyna: dobrej nocy wszystkim, bo zaczynam się robić upierdliwa, więc lepiej już się ewakuować

Godzio:

Bogdan: Co to znaczy − prawie dobrze?, a wyznaczenie dziedziny dla k pozostawiam innym.

Godzio: Nie chciałem w żaden sposób obrazić (zadanie zrobione jak zwykle kapitalnie )

Bogdan: Dodam, że jeśli α jest kątem ostrym i k = sinα + cosα − 1, to k∊ .....