Dla znudzonych pochmurnym popołduniem ;) Jack: Zadanko dla chętnych: Dana jest liczba rzeczywista a_n>1. Definiujemy ciąg (a_n) wzorem: a_n+1=a_n²−a_n+1 dla n≥1 Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność

1		1		1		1		1
	+		+		+....+		<
a1		a2		a3		an		a1−1

Jack: "dana jest liczba rzeczywista a₁" − przepraszam.

Basia: a₁=2 a₂=4−2+1=3

	1		1		4
L=		+		=
	1		3		3

	1
P=		=1
	1

Twoje twierdzenie nie jest prawdziwe

Basia: Chyba, że czegoś jeszcze nie dopisałeś, bo zrozumiałam, że to ma być prawdą dla każdego a₁>1 i dla dowolnego n∊N, a dla a₁=2 i n=2 nie jest.

Lucyna: Basiu obawiam się, że Cię rozczaruję tam ma być

1		1
	+
2		3

Lucyna: a₁ = 2 nie 1

Basia: Oj masz rację.

Lucyna:

	1
Basia a wiesz może jaka będzie ∑i=1n
	i2−i+1

Jack: Po pierwsze zauważmy, że dla n≥1 a_n+1=a_n²−a_n+1<a_n² (ponieważ a₁>1). Tzn. np. a₂=a₁²−a₁+1<a₁² dla a₃=a₂²−a₂+1<a₂²=a₁⁴ (łatwo zauważyć, że dla większych n jest analogicznie). Stąd możemy szacować sumę z zadania: Ponieważ:

1

1

1

1

1

1

1

+

+...+

<

+

+

+...+

a1

a2

ak

a1

a12

a14

a12k−2

to

1		1		1		1		1
	+		+		+...+		<
a1		a12		a14		a12k−2		a1−1

Zauważmy jeszcze, że:

1		1		1		1		1
	+		+		+...+		<
a1		a12		a14		a12k−2		a1−1

1		1		1		1		1		1
	+		+...+		<		−		=
a12		a14		a12k−2		a1−1		a1		a12−a1

Lewa strona to suma k wyrazów (nie k−1) szeregu geometrycznego:

1		1   1−( )k   a12		1
	*		<
a12		1   1−   a12		a12−a1

1   1−( )k   a12		1
	<
a12−1		a12−a1

1   1   (1− )(1+ )   a1k   a1k		1
	<		(△)
a12−1		a12−a1

Spróbujmy dowód przez indukcję:

	1		1
1. zachodzi w sposób oczywisty (		<		dla a1>1 )
	a1		a1−1

2. Założmy że teza chodzi dla n=k. Wówczas mamy (△). 3. Teza:

1		1		1		1		1		1
	+		+		+...+		+		<
a1		a12		a14		a12k−2		a12k		a1−1

	1
Po kolei: (przerzucam		na prawą stronę i zwijam wyrazy bez ostatniego)
	a1

1		1   1−( )k   a12		1
	*		+		=
a12		1   1−   a12		a12k

	1   a12−1+1−   a12k−2
=		=
	(a12−1)a12k

	1   a12−( )2   a1k−1
=		=
	a12k(a12−1)

	1   1   a1(1− )a1(1− )   a1k   a1k
=		=
	a12k(a12−1)

	a1		1   1   (1− )(1− )   a1k   a1k
=		*
	a12k		a12−1

	1
Zauważmy, że drugi czynnik jest <		z założenia indukcyjnego (△), natomiast
	a12−a1

	a1
		<1 ponieważ a1>1.
	a12k

Stąd koniec dowodu

Jack: cholercia sorry, dlugo sie wgrywało wiec ponowiłem próbę

Jakub: Nie ma problemu Jack. Usunąłem powtarzający się wpis.

Jack: dzięki, Jakub ale widzę błąd i tak... Daję sobie jeszcze 30 minut na poprawne oszacowanie sumy − potem idę spać. PS. mógłbyś tak naprawdę usunąć co napisałem bo tragicznie to wygląda − tyle wysiłku na nic

Basia: Próbowałam tak samo jak Ty, też mi się nie udało. Możliwe, że gdzieś robimy taki sam błąd. Chyba trzeba to przespać.

Jack: Najwyraźniej masz rację − popróbuje jeszcze moment jakoś inaczej to oszacować i zmykam.

Jack: Ok, no to inne szacowanie a_n+1=a_n²−a_n+1>a_n²−a_n Nowy ciąg będzie miał postać a'_n+1=a_n²−a_n. (jest jasne, że ten drugi ma wyrazy odpowiednio mniejsze od pierwszego o 1, czyli a'_n=a_n−1) a'_n+1=a_n²−a_n=a_n(a_n−1) (a_n=a'_n+1 z powyższego) Zatem: a'_n=(a'_n+1)a'_n Policzmy pomocniczo:

1		1		1		1		an−1		1
	−		=		−		=		=		(◯)
a'n		a'n+1		an−1		an(an−1)		an(an−1)		an

Lewa strona jest równa na mocy (◯):

1		1		1		1
	+		+...+		<
a1		a2		an		a1−1

Mamy:

1		1		1		1
	−		+		−		+....
a'1		a'2		a'2		a3

	1		1		1		1
......+		−		+		−		=
	an−2		an−1		an−1		an

	1		1
=		−
	a'1		an

Wiemy, że:

1		1
	=		( z def. nowego ciągu: a'n=an−1 dla każdego n)
a'1		an−1

więc

1		1		1		1		1
	−		=		−		<
a'1		an		an−1		an		a1−1

To kończy dowód. Teraz mam nadzieję jest dobrze

Basia: oszacowanie mianownika: a₂<a₁² a₃<a₁⁴ a₄<a₁⁸ a₅<a₁¹⁶ ............................ a_n<a₁⁽²ⁿ⁻¹⁾ (nie mylić z a₁²ⁿ⁻¹ bo to nie to samo)

	1
i niestety {		} nie jest geometryczny
	an

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− zastanawiam się nad zastosowaniem logarytmu dla a₁>1 log_a1x ≤ ax+b gdzie y=ax+b równanie stycznej np. w punkcie (1,0) albo w punkcie (a₁,1) trzeba by spróbować policzyć może coś z tego wyjdzie, chociaż obawiam się, że +b zepsuje całą zabawę f(x) = log_a1x

	1
f'(x) =
	x*lna1

f(1)=0

	1
f'(1)=
	lna1

	1
y =		x+b
	lna1

	1
0=		+b
	lna1

	1
b=−		<0
	lna1

czyli nie zepsuje bo jest ujemne

	1		1		x
loga1x≤		x−		<
	lna1		lna1		lna1

x>lna₁*log_a1x a_n > lna₁*log_a1a_n ale żeby to zastosować trzeba by było mieć oszacowanie a_n "w drugą stronę" no bo f(x)=log_a1x jest rosnąca poza tym wcale nie wiem czy to nie za grube szacowanie

Basia: a dlaczego

1		1
	=
a1'		an−1

zdaje mi się, że to niezupełnie prawda a_n' = a_n−1 na to zgoda stąd a₁' = a₁−1 ale nie a_n−1

Jack: ojej pomyliłem się. Dzięki za uwagę, faktycznie na końcu powinno być

	1		1
		=		. Wtedy
	a'1		a1−1

1		1		1		1		1		1
	−		=		−		<		− (bo		jest dodatnie)
a'1		an		a1−1		an		a1−1		an

Basia: co znakomicie kończy dowód

Jack: Dziękuję Siedziałem wczoraj do 3 i pisałem ale gdy zacząłem setny raz poprawiać te same wzory stwierdziłem że nie ma sensu... Więcej chyba nie zaproponuję takiego zadania

Basia: Jack, to już tylko uwagi techniczne "prim" po drodze pogubiłeś

1		1		1
	+		+..........+		=
a1		a2		an

1		1		1		1		1		1
	−		+		−...........−		+		−		=
a1'		a2'		a2'		an'		an'		an+1'

1		1
	−		=
a1'		an+1'

1		1
	−
a1−1		an−1

to niczego nie zmienia, bo a_n−1=a_n−1(a_n−1−1)>0 co dla mnie jest oczywiste, ale jak ktoś bardzo chce może to łatwo udowodnić indukcyjnie

Jack: tak Basiu, też zauważałem że na początku pozjadałem primy i (co najmniej) raz indeks _n+1. Mimo wszystko łatwiej pisać i więcej widać na kartce (albo tablicy)...

Zło:

Zło: Sorry źle kliknęłam stąd ta pusta wiadomość

Basia: Mnie się to bardzo często zdarza. Błędy, które na kartce papieru nigdy by się nie zdarzyły. Myślałam, że wzrok już nie taki, ale skoro i młodzież ma ten sam problem, to może jeszcze nie jest ze mną tak źle.

Jack:

Lucyna: Tiaaaa Jack a teraz z niecierpliwością czekamy na kolejne zadanie

Jack: coś wymyślę, Lucyno... nie pozwolę zaśniedzieć się naszym umysłom podczas wakacji

Lucyna: kolejny a co z tymi, którzy wakacji już nie mają ?

Jack: no dobrze, nie będzie tak: przez wakacje rozumiem czas, w którym młodsza część z nas spędza przez telewizorem, podczas gdy reszta domowników na nich pracuje W takim razie postaram się tę pracę urozmaicić

Lucyna: może wystarczyłoby napisać po prostu lato?

Lucyna: lato dla młodszych jest tożsame z wakacjami dla starszych jedynie z tym, że pracuje się w jeszcze większym pocie czoła

Jack: ok, nie podnoszę więcej głosu w tej sprawie