wymierna kali: na podstawie definicji zbadaj monotonicznosc funkcji f(x)=^−6x+18_x+3 na przedziale (−3, +∞)

Godzio: dla x₁ − x₂ > 0 :

	−6x1 + 18		−6x2 + 18
f(x1) − f(x2) =		−		=
	x1 + 3		x2 + 3

−6(x1 − 3)(x2 + 3) + 6(x2 − 3)(x1 + 3)
	=
(x1 + 3)(x2 + 3)

−6(x1x2 + 3x1 − 3x2 + 9) + 6(x1x2 + 3x2 − 3x1 − 9)
	=
(x1 + 3)(x2 + 3)

−6(x1x2 + 3x1 − 3x2 + 9 − x1x2 − 3x2 + 3x1 + 9)
	=
(x1 + 3)(x2 + 3)

−6(6x1 − 6x2 + 18)		−6( 6(x1 − x2) + 18)
	=		=
(x1 + 3)(x2 + 3)		(x1 + 3)(x2 + 3)

−6( 6(x1 − x2) + 18)
	< 0 bo
(x1 + 3)(x2 + 3)

z zał. x₁ − x₂ > 0 więc 6(x₁ − x₂) + 18 > 0 x₁ + 3 > 0 x₂ + 3 > 0 −6 * + = − czyli w tym przedziale funkcja jest malejąca

Godzio: W sumie to można szybciej:

−6x + 18		36
	=		− 6
x + 3		x+3

	36(x2 + 3) − 36(x1 + 3)
f(x1) − f(x2) =		=
	(x1+3)(x2+3)

36(x2 + 3 − x1 − 3)		36(x2 − x1
	=
(x1+3)(x2+3)		(x1+3)(x2+3)

x₁ > x₂ 0 > x₂ − x₁ więc

36(x2 − x1
	< 0
(x1+3)(x2+3)

Nawet o wiele szybciej

sebo: −2x+3